Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2018)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
(MATERIA OPTATIVA II) INTRODUCCION A LA GEOMETRIA FRACTAL LIC.EN CS.MAT. 03/14 2018 1° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
BARROZO, MARIA FERNANDA Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
LORENZO, ROSA ALEJANDRA Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
 Hs. 5 Hs. 7 Hs.  Hs. 12 Hs. 1º Cuatrimestre 12/03/2018 23/06/2018 15 180
IV - Fundamentación
La asignatura Optativa II se centra en el estudio de la geometría fractal que nace en la década de los años setenta del siglo pasado y se enmarca en las áreas del análisis matemático, la geometría, la topología y la matemática aplicada. Por otra parte, dado que en esta geometría la interacción con la computadora es indispensable, dadas también las muy diversas aplicaciones que se le vienen encontrando, y dada la vistosidad de las figuras que en ella se estudian y su proximidad con objetos y fenómenos de la naturaleza, se puede afirmar que los fractales constituyen actualmente una interesante alternativa de trabajo tanto en la matemática pura como aplicada.
El enfoque teórico-práctico, con demostraciones formales y aplicaciones, tiene como objetivo desarrollar las distintas capacidades necesarias para la formación de un buen profesional.
El programa responde a los requerimientos de la carrera para las cual se dicta.
V - Objetivos
- Dominar los conceptos básicos de espacios métricos.
- Estudio formal de la noción de autosimilitud en el contexto de espacios métricos.
- Estudiar el espacio de los fractales.
- Estudiar el proceso de construcción de fractales mediante SIF.
- Realizar transformaciones geométricas del atractor de un SIF en el plano.
- Manejar un programa computacional para la creación de fractales.
- Analizar y reconstruir demostraciones formales, y demostrar resultados nuevos.
VI - Contenidos
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN
Autosimilitud y dimensión extraña. Cuatro ejemplos clásicos de fractales: El conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinsky, la curva de Von Koch y la esponja de Menjer

UNIDAD 2: NOCIONES DE ESPACIOS MÉTRICOS
Definición. Ejemplos. Subespacio métrico. Noción de convergencia. Sucesiones de Cauchy. Conjuntos cerrados. Conjuntos abiertos. Conjuntos compactos, conjuntos acotados y totalmente acotados, puntos de acumulación y puntos frontera. Continuidad en espacios métricos. Contracciones en espacios métricos. Teorema del punto fijo para espacios métricos completos.

UNIDAD 3: EL ESPACIO DONDE VIVEN LOS FRACTALES
El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff. Completez del espacio H(X).

UNIDAD 4: SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES
Sistema iterado de funciones (SIF). Atractor. SIF con condensación. La función de direccionamiento. Transformaciones geométricas del atractor de un SIF en el plano. Algunas nociones de dimensión fractal.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en la resolución de ejercicios en las horas destinadas a tal fin, y resolución de ejercicios propuestos fuera del horario establecido que luego podrán ser consultados.
VIII - Regimen de Aprobación
El régimen de aprobación de la materia es mediante el sistema de promoción. Los alumnos deben presentar por escrito la resolución de los ejercicios solicitados, exposiciones orales y la confección de un trabajo final sobre un tema de la materia.
IX - Bibliografía Básica
[1] • Michael F. BARNSLEY. “Fractals Everywhere”. Academic Press, Inc., 1988.
[2] • Sonia SABOGAL & Gilberto ARENAS, “Una Introducción a la a Geometría Fractal”. Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, 2011.
X - Bibliografia Complementaria
[1] • B. Mandelbrot. “The Fractal Geometry of Nature”. Freeman, 1992.
[2] • K.J. Falconer. “Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications”. Second Edition; John Willey and Sons, England, 2003.
XI - Resumen de Objetivos
- Dominar los conceptos básicos de espacios métricos.
- Estudio formal de la noción de autosimilitud en el contexto de espacios métricos.
- Estudiar el espacio de los fractales.
- Estudiar el proceso de construcción de fractales mediante SIF.
- Realizar transformaciones geométricas del atractor de un SIF en el plano.
- Manejar un programa computacional para la creación de fractales.
- Analizar y reconstruir demostraciones formales, y demostrar resultados nuevos.
XII - Resumen del Programa
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN
Autosimilitud y dimensión extraña. Cuatro ejemplos clásicos de fractales: El conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinsky, la curva de Von Koch y la esponja de Menjer

UNIDAD 2: NOCIONES DE ESPACIOS MÉTRICOS
Definición. Ejemplos. Subespacio métrico. Noción de convergencia. Sucesiones de Cauchy. Conjuntos cerrados. Conjuntos abiertos. Conjuntos compactos, conjuntos acotados y totalmente acotados, puntos de acumulación y puntos frontera. Continuidad en espacios métricos. Contracciones en espacios métricos. Teorema del punto fijo para espacios métricos completos.

UNIDAD 3: EL ESPACIO DONDE VIVEN LOS FRACTALES
El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff. Completez del espacio H(X).

UNIDAD 4: SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES
Sistema iterado de funciones (SIF). Atractor. SIF con condensación. La función de direccionamiento. Transformaciones geométricas del atractor de un SIF en el plano. Algunas nociones de dimensión fractal.
XIII - Imprevistos