Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
(MATERIA OPTATIVA I) GEOMETRIA	LIC.EN CS.MAT.	18/06	2011	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
TALA, JOSE ELIAS	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

La geometría diferencial utiliza técnicas del cálculo diferencial para el estudio de curvas y superficies. Además, su teoría inter-relaciona el cálculo, el álgebra y las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, ofreciendo una oportunidad única de ver estas herramientas en acción.
Tiene aplicaciones interesantes en ingeniería, física, robótica, visión computacional, computación gráfica, etc. . Provee no solamente los fundamentos de la relatividad general sino también la base formal para el estudio riguroso de la mecánica analítica.

Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

TEMA 1.- CURVAS
Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco. Teoría local de curvas parametrizadas por la longitud de arco. Propiedades globales de curvas planas.

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
Superficies regulares. Imágenes inversas de valores regulares: superficies de nivel. Cambio de parámetros. Funciones diferenciales entre superficies. Plano tangente, base asociada a una parametrización. La diferencial de una función diferenciable entre superficies y su representación matricial. Vector unitario normal asociado a una parametrización. La primera forma fundamental, elemento de línea. Área. Orientación de superficies. Definición geométrica de área.

TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
La aplicación de Gauss. Diferencial de la aplicación de Gauss y su forma cuadrática asociada: la segunda forma fundamental. Curvatura normal, teorema de Mesnier. Curvaturas principales y direcciones principales. Líneas de curvatura; fórmula de Olinde Rodrigues. Expresión local de la segunda forma fundamental: fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y curvatura media. Puntos umbílicos. Direcciones asíntotas y líneas asintóticas. Indicatriz de Dupin. Hessiano, interpretación geométrica de la indicatriz de Dupin.

TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES
Isometrías e isometrías locales, transformaciones conformes. Teorema Egregio de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad de Mainardi – Codazzi; teorema de Bonnet. Derivada covariante. Campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas.

Resolución de ejercicios seleccionados de la bibliografía básica y exposiciones teóricas.

- RÉGIMEN DE APROBACIÓN DE TRABAJOS PRÁCTICOS

Durante el curso se tomarán dos (2) exámenes parciales, con derecho a una recuperación cada uno, que deben aprobarse con un puntaje mayor o igual a seis (6) en una escala de 0 a 10. Los alumnos que hayan aprobado al menos un parcial tendrán derecho a rendir un general de recuperación que consistirá en ejercicios generales sobre todo el programa. Para aprobar la materia se deberá rendir un examen final.

[1] - doCarmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice – Hall, 1976.

[1] 1) McCleary John, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1997.
[2] 2) Struik Dirk J. Lecture on Classical Differential Geometry, Dover, 1988.
[3] 3) Pressley Andrew, Elementary Differential Geometry, Springer, 2005.
[4] 4) Millman, R. and Parker G. Elements of Fidderential Geometry, Prnetice Hall, 1977.
[5] 5) Klingenberg Wilhelm, A CVourse in Differential Geometry, Springer, 1978.
[6] 6) Oprea John, Differential Geometry an Its Applications, Prnetice Hall, 2004.

Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

TEMA 1.- CURVAS
TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES