Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA	P.T.C.E.G.B.E.P.M.		2009	2° cuatrimestre
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA	PROF.UNIV.EN MATEMATICAS		2009	2° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
JAUME, DANIEL ALEJANDRO	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs
MINI, MARIA AMELIA	Responsable de Práctico	A.1ra Exc	40 Hs

Aspectos que fundamentan la asignatura:
a) La enseñanza de la Teoría de Números históricamente ha ocupado un lugar central en la Matemática, tanto por la importancia de los temas como el carácter formativo de los mismos.
b) La teoría elemental de números denominada aritmética, es uno de los temas óptimos para introducir la enseñanza por Resolución de Problemas.
c) La modalidad de Laboratorio permite el desarrollo de actividades para la adquisición de conceptos, resolución de problemas, análisis individual y grupal de actividades de enseñanza que posibilita un enriquecimiento progresivo en la forma de plantear la actividad docente a los futuros profesores.

Este laboratorio está ubicado en el Tercer año de estudios de las carreras de Profesorado de Tercer ciclo de Enseñanza General Básica y de la Educación Polimodal y Profesorado Superior de Matemáticas.
Se requiere algunos conocimientos previos de los cursos de Álgebra I, Fundamentos de la Matemática y Matemáticas Discreta.

- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Establecer relaciones entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer alguna de las aplicaciones actuales de la aritmética y álgebra.
- Conocer algunos aspectos didácticos de importancia: obstáculos frecuentes en la enseñanza del álgebra.

Unidad N1: Lo básico
Repaso de inducción. Buen orden. Teorema de la división. Bases y Operaciones.

Unidad N2: Algoritmo de Euclides y factorización única
Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout. Teorema fundamental de la aritmética. Notación exponencial. Primos. Postulado de Bertrand. Teorema de Dirichlet de distribución de primos en progresiones aritméticas.

Unidad N3: Funciones aritméticas
Suma de divisores. Número de divisores. Números perfectos. Números de Mersenne. Función Fi de Euler, propiedades.

Unidad N4: Congruencias
Congruencia módulo m, propiedades. Trucos de divisibilidad. Congruencias lineales. Clases de congruencia (mod m). Z/mZ. Aritmética módulo m.

Unidad N5: Teoremas de Fermat y Euler
Conjuntos completos de representantes. Unidades. Sistemas reducidos de residuos. Anillos. Cuerpos. Homomorfismos. Conjuntos ordenados. Teorema de Fermat. Teorema de Euler. Potencias módulo m. Teorema de Wilson. Grupos. Exponente de un grupo Abeliano.

Unidad N6: Teorema de Lagrange y el Teorema Chino del resto
Subgrupos, Teorema de Lagrange. Teorema Chino del resto. Producto de anillos. Función  de Euler.

Unidad N7: Polinomios
Polinomios. Teorema de la división. Raíces primitivas. Máximo común divisor. Polinomios irreducibles. Congruencias. Teorema Chino del resto. Raíces primitivas módulo m

Unidad N8: Teorema Fundamental del Álgebra.
Funciones Racionales. Fracciones parciales. Polinomios irreducibles sobre R. Números complejos. Fórmulas de raíces. El teorema fundamental del álgebra. Propiedades de las raíces.

A) Resolver problemas de aplicación de cada unidad. Se pretende que el alumno use el conocimiento adquirido y sea capaz de:
- Describir e interpretar la situación estableciendo relaciones entre los datos del problema
- Seleccionar y aplicar algún método, propiedad, técnica, etc.
- Obtener las conclusiones que se piden en el problema.
- Comunicar las soluciones oralmente.
B) Preparar guías de problemas que puedan ser utilizados con alumnos de EGB3 y Polimodal para algunos temas pertinentes.

Cada alumno deberá rendir y aprobar 2 parciales escritos teórico-prácticos, corregidos del 0 al 10. Para acceder al Recuperatorio, uno de los parciales debe ser aprobado de primera instancia. Para regularizar es necesario obtener más de 60% en cada parcial o su recuperatorio. Existe un Recuperatorio general (para alumnos que trabajan, y demás excepciones reglamentadas), quién use el último Recuperatorio General sólo podrá regularizar.
Los alumnos regulares que consigan cómo mínimo un 70% en cada parcial podrán promocionar la asignatura previa aprobación de 3 coloquios, un a continuación de cada parcial, más un tercero, de caracter integrador al final de la asignatura.
Los alumnos regulares aprueban la materia con un examen final, en lo turnos de examen que fije la FCFMyN.
Para los alumnos libres, el examen final consta de tres instancias: la primera, escrita, consiste en la resolución de problemas y su aprobación es condición necesaria para acceder a la segunda: una exposición de un tema previamente fijado, nuevamente la aprobación de esta parte es condición necesaria para acceder a la tercera y última parte, de carácter coloquial y teórico, que abarca la totalidad del programa.

[1] 1. Childs, Lindsay. A concrete introduction to higher algebra. Springer
[2] 2. Brualdi, R. Introductory Combinatorics. 3rd Ed. Prentice Hall.
[3] 3. Pettofrezzo, Anthony, Introducción a la teoría de números. Editorial Prentice/Hall Internacional.
[4] 4. Richard Johsonbaugh. Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamericano.
[5] 5. Van Lint, J. and Wilson, R. A course in Combinatorics. 2nd Ed. Cambrigde University Press.
[6] 6. Aigner M, & Ziegler G, Proofs from the book. Springer 1999.

[1] 1. Fraheileig, Algebra. Fondo educativo iberoamericano.

- Incorporar a través de resolución de problemas conocimientos básicos de la aritmética.
- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer algunas aplicaciones actuales de la aritmética y álgebra.
Revelar algunos aspectos didácticos de la aritmética y del álgebra..

Unidad N1: Lo básico
Repaso de inducción. Buen orden. Teorema de la división. Bases y Operaciones.

Unidad N2: Algoritmo de Euclides y factorización única
Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout. Teorema fundamental de la aritmética. Notación exponencial. Primos

Unidad N3: Congruencias
Congruencia módulo m, propiedades. Trucos de divisibilidad. Congruencias lineales. Clases de congruencia (mod m). Z/mZ. Aritmética módulo m. Conjuntos completos de representantes. Unidades.

Unidad N4: Teoremas de Fermat y Euler
Anillos. Cuerpos. Homomorfismos. Conjuntos ordenados. Teorema de Fermat. Teorema de Euler. Potencias módulo m. Grupos. Exponente de un grupo Abeliano.

Unidad N5: Teorema de Lagrange y el Teorema Chino del resto
Subgrupos, Teorema de Lagrange. Teorema Chino del resto. Producto de anillos. Función  de Euler.

Unidad N6: Polinomios
Polinomios. Teorema de la división. Raíces primitivas. Máximo común divisor. Polinomios irreducibles. Congruencias. Teorema Chino del resto. Raíces primitivas módulo m. Propiedades.