Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
ANÁLISIS MATEMÁTICO II	ING. EN ALIMENTOS	12/2023	2025	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
MARTINEZ, FEDERICO NICOLAS	Prof. Responsable	P.Asoc Exc	40 Hs
SCHVAGER, BELEN BETSABE	Responsable de Práctico	JTP Exc	40 Hs

Este curso de cálculo diferencial e integral en varias variables es tomado por los estudiantes después de un curso sobre cálculo en una variable y otro sobre álgebra lineal. Ello permite un desarrollo moderno y ágil, acorde con su enfoque esencialmente vectorial. Por otra parte, la vastedad de los temas tratados no permite ser minucioso en la demostración de todos los resultados, de modo que, para algunos de ellos, se procura dejar en claro las ideas centrales en vista a sus potenciales aplicaciones.

Progresivamente durante el dictado y, especialmente, al finalizar el curso, se espera que los alumnos adquieran los conocimientos y habilidades necesarios para:
• Identificar curvas y superficies en el espacio euclídeo tridimensional, descriptas como gráficas de funciones reales de dos variables (cuando sea el caso) de manera explícita o implícita, o bien, mediante ecuaciones paramétricas.
• Dominar con solvencia el cálculo de límites y de derivadas direccionales (incluidas las parciales) de funciones a valores reales definidas en subconjuntos de los espacios euclídeos multidimensionales (principalmente, bidimensional y tridimensional).
• Resolver cierta clase de problemas de optimización que requieren la maximización y/o minimización de los valores de funciones reales multivariables, sin y con restricciones de dominio.
• Aplicar las técnicas de integración de funciones de dos y tres variables con coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas, a fin de reconducir estos problemas a integrales de una variable, fácilmente resolubles con el ordenador o con una tabla de integrales.
• Parametrizar curvas y superficies y aplicar las ecuaciones correspondientes para plantear correctamente integrales curvilíneas y de superficies, tanto de funciones con valores escalares como de campos vectoriales.
• Incorporar los conceptos fundamentales de los principales operadores vectoriales, visualizar su importante papel en la representación de fenómenos físicos y utilizarlos para el modelado de los mismos.
• Interpretar (y explicar) los enunciados de los teoremas sobresalientes del análisis vectorial, contrastar las relaciones de analogía (similitudes y diferencias) que hay entre ellos e identificar cuál resulta apropiado ante cada posibilidad de aplicación a un problema concreto.
• Implementar, como complemento del material teórico, el uso básico de GeoGebra, especialmente cuando resulte de ayuda para abordar o controlar problemas geométricos sobre los cuales no se tiene una intuición previa. (Dicha herramienta digital es gratuita y puede disponerse de forma online o descargarse en computadoras y dispositivos móviles.)

Unidad 1: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
Funciones reales de dos y de tres variables: definición, dominio y rango, representaciones algebraicas (mediante fórmulas explícitas e implícitas), numérica (mediante tablas de valores) y visual (mediante diagramas de flechas, gráficas, curvas/superficies de nivel). Límite: concepto intuitivo, unicidad, propiedades algebraicas y técnicas para su cálculo. Continuidad: concepto formal e intuitivo, operaciones algebraicas y composición con funciones continuas.

Unidad 2: DIFERENCIACIÓN EN VARIAS VARIABLES
Derivadas parciales: definición y cálculo, interpretaciones geométricas y como razones de cambio. Cálculo de derivadas parciales de orden superior y teorema de Clairaut. Planos tangentes a superficies y aproximaciones lineales. Incrementos y diferenciales. Regla de la cadena. Derivación implícita. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas de Ecuaciones diferenciales ordinarias: métodos de resolución analíticos y numéricos. Derivadas direccionales y teorema del gradiente. Valores extremos (máximos y mínimos) locales y absolutos de funciones reales de dos y de tres variables. Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange.

Unidad 3: INTEGRALES MÚLTIPLES
Integrales dobles sobre rectángulos: definición mediante sumas de Riemann y propiedades algebraicas, integrales iteradas y Teorema de Fubini. Integrales dobles sobre regiones más generales. Coordenadas generalizadas. Integrales dobles en coordenadas polares. Integrales triples en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Aplicaciones de las integrales múltiples.

Unidad 4: ANÁLISIS VECTORIAL
Funciones con valores vectoriales y curvas en el espacio. Campos escalares vs. vectoriales. Cálculo vectorial: divergencia, gradiente, rotor, función potencial. Integrales de línea (o curvilíneas): definición, independencia de la trayectoria,Teorema Fundamental de las Integrales de Línea. Teorema de Green. Áreas de superficies. Integrales de superficies. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss (o de la divergencia).

Los trabajos prácticos consistirán principalmente en la resolución de problemas que requieran la aplicación de los conceptos desarrollados en la teoría. Se incluirán también algunos ejercicios esencialmente "teóricos" (como demostraciones sencillas) para ayudar al alumno a ejercitar el razonamiento lógico y ordenado mientras afianza y establece relaciones entre los conceptos estudiados.

I.- PARA ALUMNOS REGULARES/PROMOCIONALES:

Se tomará un examen parcial, y sus correspondientes dos recuperatorios.

El alumno inscripto como "regular" conservará esa condición aprobando este examen parcial, en cualquiera de sus tres instancias, con un puntaje no menor al 60% (quien no cumpla con este requerimiento quedará en condición de alumno "libre"). Luego, para aprobar la materia, deberá rendir un examen final, que involucre todos los temas estudiados en el curso, en los turnos habilitados según el calendario académico de la UNSL y/o por la Facultad correspondiente.

La materia se podrá promocionar sin rendir examen final. Para ello, el alumno inscripto como "promocional" deberá aprobar el examen parcial o su primer recuperatorio con un puntaje no menor al 80% (la segunda recuperación del parcial sólo se ofrecerá a los fines de regularizar). Luego deberá aprobar un examen integrador de todos los temas estudiados.

ACLARACIÓN: Al alumno que se presente en el examen parcial en más de una instancia sólo se le tomará en cuenta la última nota obtenida.

II.- PARA ALUMNOS LIBRES:

El alumno que pierda la condición de regular podrá aprobar la materia rindiendo, en los turnos habilitados según el calendario académico de la UNSL y/o por la Facultad correspondiente, un examen final integrador con un puntaje superior al %80.

[1] Cálculo Vectorial - 5ª Ed. (Prentice Hall, 2004) - J. E. MARSDEN y A. J. TROMBA
[2] Cálculo de varias variables | Trascendentes tempranas - 7ª Ed. (Cengage, 2012) - JAMES STEWART

[1] Cálculo con Geometría Analítica - 2ª Ed. (Grupo Editorial Iberoamérica, 1989) - EARL W. SWOKOWSKI

Al finalizar este curso, se espera que el alumno amplíe su campo disponible de herramientas matemáticas (teóricas y digitales) potencialmente útiles para abordar y resolver problemas propios de su disciplina específica. A la par, se busca que sea capaz de trabajar en equipo y transmitir sus análisis y los conocimientos adquiridos mediante explicaciones ordenadas y precisas, mientras acrecienta también su autoconfianza y autonomía en el aprendizaje de la matemática y sus aplicaciones.

• FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES: CONCEPTOS BÁSICOS ASOCIADOS Y APLICACIONES.
• DIFERENCIACIÓN EN VARIAS VARIABLES Y SUS APLICACIONES.
• COORDENADAS GENERALIZADAS.
• INTEGRALES MÚLTIPLES, CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIES, CON APLICACIONES.
• ANÁLISIS VECTORIAL: CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN GENERAL, GRADIENTE, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA.
• TEOREMAS DE GREEN, DE STOKES Y DE GAUSS CON APLICACIONES.