Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
GEOMETRIA DIFERENCIAL	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2023	2° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
MARTINEZ, FEDERICO NICOLAS	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

La geometría diferencial utiliza técnicas del cálculo diferencial para el estudio de curvas y superficies en el espacio euclídeo. El estudiante entra en contacto con estos objetos básicos de la matemática y adquiere las herramientas para el posterior estudio de su clasificación y sus generalizaciones, es decir el estudio de las variedades diferenciables.
Por otro lado, tiene aplicaciones interesantes en ingeniería, física, robótica, visión computacional, computación gráfica, etc.. Provee no solamente los fundamentos de la relatividad general sino también la base formal para el estudio riguroso de la mecánica analítica.

Que el estudiante integre conceptos adquiridos previamente en la carrera, como el cálculo y el álgebra lineal, en el estudio de los objetos geométricos.
Que el estudiante se familiarice la ideas básicas de la topología y la geometría clásicas y asimile las herramientas para estar en condiciones de continuar el estudio de la geometría moderna.

TEMA 1.- CURVAS
Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco. Teoría local de curvas parametrizadas por la longitud de arco. Propiedades globales de curvas planas.

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
Superficies regulares y variedades diferenciables. Imágenes inversas de valores regulares: superficies de nivel. Cambio de parámetros. Funciones diferenciales entre superficies. Plano tangente, base asociada a una parametrización. La diferencial de una función diferenciable entre superficies y su representación matricial. Vector unitario normal asociado a una parametrización. La primera forma fundamental, elemento de línea. Área. Orientación de superficies. Definición geométrica de área.

TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
La aplicación de Gauss. Diferencial de la aplicación de Gauss y su forma cuadrática asociada: la segunda forma fundamental. Curvatura normal, teorema de Mesnier. Curvaturas principales y direcciones principales. Líneas de curvatura; fórmula de Olinde Rodrigues. Expresión local de la segunda forma fundamental: fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y curvatura media. Puntos umbílicos. Direcciones asíntotas y líneas asintóticas. Indicatriz de Dupin. Hessiano, interpretación geométrica de la indicatriz de Dupin.

TEMA 4.- GEOMETRIA INTRÍNSECA DE LAS SUPERFICIES
Isometrías e isometrías locales, transformaciones conformes. Teorema Egregio de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad de Mainardi – Codazzi. Derivada covariante. Campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas. Teorema de Gauss-Bonnet.

Resolución de ejercicios seleccionados de la bibliografía básica.

Para la regularidad se pide la entrega de ejercicios seleccionados y exposición de los mismos, así como de ciertos aspectos teóricos.
Para el final, la preparación de un tema importante y/o interesante de la materia.

[1] doCarmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice – Hall, 1976.

[1] McCleary John, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1997.
[2] Struik Dirk J. Lecture on Classical Differential Geometry, Dover, 1988.
[3] Pressley Andrew, Elementary Differential Geometry, Springer, 2005.
[4] Millman, R. and Parker G. Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.
[5] Klingenberg Wilhelm, A Course in Differential Geometry, Springer, 1978.
[6] Oprea John, Differential Geometry an Its Applications, Prentice Hall, 2004.

Iniciar a los estudiantes en el estudio de la Geometría Diferencial.

Curvas y Superficies regulares en R^3.
La geometría de la aplicación de Gauss.
Isometrías. Geodésicas. El teorema de Gauss-Bonnet.

Se solicita que este programa se apruebe por 3 (tres) años.