Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
() TOPOLOGIA DIFERENCIAL	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2023	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
MARTINEZ, FEDERICO NICOLAS	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

La topología diferencial estudia las variedades suaves (o sea curvas, superficies y sus análogos de dimensión superior) y funciones diferenciables entre ellas, utilizando las herramientas del cálculo diferencial de varias variables. A diferencia de la geometría diferencial que estudia las mismas variedades utilizando estructuras métricas asociadas, la topología diferencial se centra en propiedades que no cambian al deformar diferencialmente las variedades. Uno de estos invariantes es el grado de una función suave, el cual es la herramienta clave para probar importantes resultados topológicos, entre ellos los teoremas de Jordan-Brower, Borsuk-Ulam, Ponicaré-Hopt, etc.

Comprender las propiedades elementales de las variedades diferenciales y de las funciones definidas en éstas. Conocer los teoremas básicos de transversalidad e intersección de variedades. Asimilar los métodos de la topología diferencial y su importancia para la caracterización de las variedades.

Unidad 1.
Variedades en espacios euclídeos. Estructuras diferenciables. Funciones diferenciables y Plano Tangente. Inmersiones y submersiones. Transversalidad. Homotopia y Estabilidad. Teorema de Sards y funciones de Morse. Teorema de Whitney.

Unidad 2.
Variedades con borde. Teoremas de Transversalidad e interseccion. Teoría de Interseccion módulo 2. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de Borsuk-Ulam.

Unidad 3.
Orientación de variedades. Intersecciones orientables. Teorema del punto fijo de Lefschetz. Teorema de Poincaré Hopf. Triangulaciones y característica de Euler.

Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

Los estudiantes deberán resolver y exponer los ejercicios propuestos. Como trabajo final deberán elaborar por escrito un documento desarrollando de manera exhaustiva alguno de los resultados centrales del curso.

[1] Differential Topology, Guillemin, V, Pollack A. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1974).

[1] Differential Topology, Hirsch, M.W., Springer-Verlag, New York Inc. (1976)
[2] Topology from the differentiable viewpoint, Milnor, J.W., The University Press of Virginia, Charlottesville (1965)

Conocer y comenzar a dominar métodos diferenciables en topología.

Variedades diferenciables. Mapas suaves. Transversalidad. Teoría de Intersección. Teoremas clásicos de la Topología desde el punto de vista de la diferenciabilidad.