Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas

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(Programa del año 2023)

I - Oferta Académica

Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
MEDIDA E INTEGRACION	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2023	1° cuatrimestre

II - Equipo Docente

Docente	Función	Cargo	Dedicación
FAVIER, SERGIO JOSE	Prof. Responsable	P.Tit. Exc	40 Hs

III - Características del Curso

Credito Horario Semanal					Tipificación	Duración
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	C - Teoria con prácticas de aula	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	Periodo	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
10 Hs.	Hs.	Hs.	Hs.	10 Hs.	1º Cuatrimestre	13/03/2023	23/06/2023	15	150

IV - Fundamentación
El presente curso, precedido por varios cursos de Análisis en los que se fundamentan los conceptos del Cálculo y se sientan las bases de la teoría de Espacios métricos, introduce al estudiante en la teoría de la integración de Lebesgue. Conforma la herramienta fundamental de trabajo en diversos campos como Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Teoría de Probabilidades. Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, pensando que generalizaciones abstractas serían más propias de niveles de postgrado.

IV - Fundamentación

El presente curso, precedido por varios cursos de Análisis en los que se fundamentan los conceptos del Cálculo y se sientan
las bases
de la teoría de Espacios métricos, introduce al estudiante en la teoría de la integración de Lebesgue. Conforma la herramienta
fundamental de trabajo en diversos campos como Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Teoría de Probabilidades.
Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, pensando que
generalizaciones abstractas serían más propias de niveles de postgrado.

V - Objetivos / Resultados de Aprendizaje
Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Aplicación de los conceptos de Medida e Integración para el estudio de espacios de funciones clásicos.

VI - Contenidos
CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. Medida de intervalos. Medida de conjuntos elementales. Conjuntos elementales. Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Estructura de los conjuntos medibles. Conjuntos Borelianos. Invariancia bajo Traslaciones. Conjuntos no medibles: conjunto de Vitali. CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES. El concepto de función medible. Operaciones algebraicas. Sucesiones de Página 1 funciones medibles. Funciones simples. Parte positiva y negativa. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida. Función singular de Cantor. CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Paso al límite bajo el signo integral. Integral de funciones con valores de distinto signo. Convergencia mayorada. La integral y los conjuntos de medida nula. Integral de funciones con valores complejos. Invariancia bajo traslaciones. La integral como función de conjunto. Comparación con la integral de Riemann. Integración parcial: el teorema de Fubini. La convolución.

VI - Contenidos

CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. Medida de intervalos. Medida de conjuntos elementales. Conjuntos elementales. Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de
medida nula. Estructura de los conjuntos medibles. Conjuntos Borelianos. Invariancia bajo Traslaciones. Conjuntos no
medibles: conjunto de Vitali.
CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES. El concepto de función medible. Operaciones algebraicas. Sucesiones de
Página 1
funciones
medibles. Funciones simples. Parte positiva y negativa. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida.
Función singular de Cantor.
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Paso al
límite bajo el signo
integral. Integral de funciones con valores de distinto signo. Convergencia mayorada. La integral y los conjuntos de medida
nula. Integral
de funciones con valores complejos. Invariancia bajo traslaciones. La integral como función de conjunto. Comparación con la
integral de
Riemann. Integración parcial: el teorema de Fubini. La convolución.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

VIII - Regimen de Aprobación
Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá asistir al menos al 80% de las clases teorico-prácticas, enviar una selección de ejercicios durante el desarrollo de la materia y defender su desarrollo al final del cuatrimestre.

IX - Bibliografía Básica
[1] N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, Red Olímpica, 1997 [2] E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005

X - Bibliografia Complementaria
[1]

XI - Resumen de Objetivos
Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini.

XII - Resumen del Programa
CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE.

XIII - Imprevistos
no se presentan

XIV - Otros
De conservar el Profesor responsable se sugiere la aprobación del presente por tres años consecutivos.