Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas

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(Programa del año 2023)

I - Oferta Académica

Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS DE FOURIER	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2023	1° cuatrimestre
VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS DE FOURIER	LIC.EN CS.MAT.	03/14	2023	1° cuatrimestre

II - Equipo Docente

Docente	Función	Cargo	Dedicación
BENAVENTE FAGER, ANA MARIA	Prof. Responsable	P.Asoc Exc	40 Hs

III - Características del Curso

Credito Horario Semanal					Tipificación	Duración
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	C - Teoria con prácticas de aula	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	Periodo	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Hs.	4 Hs.	4 Hs.	Hs.	8 Hs.	1º Cuatrimestre	13/03/2023	23/06/2023	15	120

IV - Fundamentación
La teoría de variable compleja es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (como Series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.). En dicha teoría, el punto de partida es la simple idea de extender una función que inicialmente es a valores reales en su argumento, a otra función cuyo argumento es complejo. Desde ahí, se derivan las principales propiedades de funciones holomorfas, los teoremas de Cauchy, residuos, continuación analítica y el principio de los argumentos. La teoría de variable compleja también es crucial en las representaciones integrales de funciones, tanto de variable compleja, como de variable real a valores complejos. Siendo este último comprendido en la teoría de series y transformada de Fourier

IV - Fundamentación

La teoría de variable compleja es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (como Series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.).
En dicha teoría, el punto de partida es la simple idea de extender una función que inicialmente es a valores reales en su argumento, a otra función cuyo argumento es complejo. Desde ahí, se derivan las principales propiedades de funciones holomorfas, los teoremas de Cauchy, residuos, continuación analítica y el principio de los argumentos.
La teoría de variable compleja también es crucial en las representaciones integrales de funciones, tanto de variable compleja, como de variable real a valores complejos. Siendo este último comprendido en la teoría de series y transformada de Fourier

V - Objetivos / Resultados de Aprendizaje
Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La medida del logro es la capacidad de resolver ejercicios y problemas.

VI - Contenidos
Primera parte : Variable Compleja Tema 1.- Funciones en el plano complejo Números complejos y plano complejo. Propiedades, convergencia y conjuntos en el plano complejo. Funciones de variable compleja. Funciones continuas, funciones holomorfas, series de potencia. Integración a lo largo de curvas. Tema 2.- Teorema de Cauchy y sus aplicaciones. Teorema de Goursat. Existencia local de primitivas y teorema de Cauchy en el disco. Fórmula integral de Cauchy. Aplicaciones: teorema de Liouville, teorema fundamental del Álgebra, teorema de Morera. Tema 3.- Singularidades Ceros y Polos. La formula de los residuos. Segunda parte: Series de Fourier Tema 4.- Propiedades básicas de series de Fourier Definiciones y ejemplos. Unicidad de Series de Fourier. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesaro. Tema 5.- Convergencia Convergencia en media cuadrada, espacios vectoriales y productos internos. Convergencia puntual. Tema 6.- La transformada de Fourier. Definición. La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz. Fórmula de inversión. Fórmula de Plancherel. Extensión a funciones de decaimiento moderado.

VI - Contenidos

Primera parte : Variable Compleja

Tema 1.- Funciones en el plano complejo
Números complejos y plano complejo. Propiedades, convergencia y conjuntos en el plano complejo. Funciones de variable compleja. Funciones continuas, funciones holomorfas, series de potencia. Integración a lo largo de curvas.

Tema 2.- Teorema de Cauchy y sus aplicaciones.
Teorema de Goursat. Existencia local de primitivas y teorema de Cauchy en el disco. Fórmula integral de Cauchy. Aplicaciones: teorema de Liouville, teorema fundamental del Álgebra, teorema de Morera.

Tema 3.- Singularidades
Ceros y Polos. La formula de los residuos.

Segunda parte: Series de Fourier

Tema 4.- Propiedades básicas de series de Fourier
Definiciones y ejemplos. Unicidad de Series de Fourier. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesaro.

Tema 5.- Convergencia
Convergencia en media cuadrada, espacios vectoriales y productos internos. Convergencia puntual.

Tema 6.- La transformada de Fourier.
Definición. La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz. Fórmula de inversión. Fórmula de Plancherel. Extensión a funciones de decaimiento moderado.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
El plan de trabajo consiste en prácticos semanales acorde a la teoría de cada semana. Los trabajos prácticos comprenden ejercicios de aplicación de las técnicas usuales y problemas de mayor dificultad que pongan de manifiesto la habilidad del estudiante para resolverlos, aplicando los resultados básicos de la teoría.

VIII - Regimen de Aprobación
Para obtener la REGULARIDAD de la asignatura, el alumno deberá asistir al 70% del total de clases (teóricas y prácticas) además, aprobar los dos (2) parciales en primera instancia o en sus respectivas recuperaciones. La APROBACIÓN sólo se logrará mediante la modalidad de EXÁMEN FINAL, en los turnos usuales. No hay “Promoción sin examen”. Se puede aprobar como alumno Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte práctica y, si lo aprueba, rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular.

VIII - Regimen de Aprobación

Para obtener la REGULARIDAD de la asignatura, el alumno deberá asistir al 70% del total de clases (teóricas y prácticas) además, aprobar los dos (2) parciales en primera instancia o en sus respectivas recuperaciones.
La APROBACIÓN sólo se logrará mediante la modalidad de EXÁMEN FINAL, en los turnos usuales. No hay “Promoción sin examen”.
Se puede aprobar como alumno Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte práctica y, si lo aprueba, rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular.

IX - Bibliografía Básica
[1] 1. Stein E., Shakarchi R., COMPLEX ANALYSIS, Princeton Lectures in Analysis II. Princeton University Press, 2003. [2] 2. Stein E., Shakarchi R., FOURIER ANALYSIS, AN INTRODUCTION, Princeton Lectures in AnalysisI. Princeton University Press, 2003.

X - Bibliografia Complementaria
[1] 3. Cartan H., Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas, Ed. 4) Selecciones Científicas, 1968. [2] 4. Rudin W., Análisis real y complejo. Tercera edición, McGraw Hill, 1988.functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967. [3] 5. Markushevich A., Theory of functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967.

XI - Resumen de Objetivos

XII - Resumen del Programa
PROGRAMA SINTETICO (no más de 300 palabras): Tema 1: Funciones en el plano complejo Tema 2: Teorema de Cauchy y sus aplicaciones. Tema 3: Singularidades Tema 4: Propiedades básicas de Series de Fourier. Tema 5: Convergencia. Tema 6: Transformada de Fourier.

XIII - Imprevistos
La clases serán presenciales. Para sortear posibles imprevistos, se utilizará la plataforma Classroom como forma de comunicación y repositorio del material teórico y práctico.

XIV - Otros
Se solicita, en el caso de que la profesora responsable sea la misma en los próximos dictados de la materia, que este programa sea aprobado por tres años más.