Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas

Imprimir

Versión PDF

(Programa del año 2021)

I - Oferta Académica

Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
(MATERIA OPTATIVA I) M.O.II TEORIA DE CODIGOS CORRECTORES DE ERRORES	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2021	2° cuatrimestre
(MATERIA OPTATIVA I) M.O.II TEORIA DE CODIGOS CORRECTORES DE ERRORES	LIC.EN CS.MAT.	03/14	2021	2° cuatrimestre

II - Equipo Docente

Docente	Función	Cargo	Dedicación
PASTINE, ADRIAN GABRIEL	Prof. Co-Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

III - Características del Curso

Credito Horario Semanal					Tipificación	Duración
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	C - Teoria con prácticas de aula	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	Periodo	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Hs.	Hs.	Hs.	Hs.	13 Hs.	2º Cuatrimestre	23/08/2021	26/11/2021	14	180

IV - Fundamentación
Un código corrector de errores es un algoritmo para expresar una secuencia de números de manera tal que cualquier error que se introduzca pueda ser detectado y corregido (con ciertas limitaciones) basandose en el resto de los números. El estudio de los códigos correctores de errores y la matemática que se asocia a ellos es conocida como Teoría de Códigos, que tiene sus origenes en 1948 con el artículo “A mathematical theory of communication” de Claude Shannon. Esta es un área viva de la matemática, con muchas conecciones a otras ramas de la matemática discreta, como el álgebra, los diseños combinatorios y los grafos, y con muchas aplicaciónes en el mundo de las comunicaciones.

IV - Fundamentación

Un código corrector de errores es un algoritmo para expresar una secuencia de números de manera tal que cualquier error que se introduzca pueda ser detectado y corregido (con ciertas limitaciones) basandose en el resto de los números. El estudio de los códigos correctores de errores y la matemática que se asocia a ellos es conocida como Teoría de Códigos, que tiene sus origenes en 1948 con el artículo “A mathematical theory of communication” de Claude Shannon. Esta es un área viva de la matemática, con muchas conecciones a otras ramas de la matemática discreta, como el álgebra, los diseños combinatorios y los grafos, y con muchas aplicaciónes en el mundo de las comunicaciones.

V - Objetivos / Resultados de Aprendizaje
El objetivo de este curso es introducir al estudiantado a los códigos correctores de errores. Se buscará generar familiaridad con los conceptos básicos de esta rama de estudios, con construcciones clásicas de códigos y con la relación con otras áreas de la matemática.

VI - Contenidos
Unidad 1: Conceptos básicos de códigos lineales: Códigos lineales, matriz generadora y de chequeo de paridad. Códigos duales. Pesos y distancias. Códigos que se obtienen a partir de otros. Códigos equivalentes por permutaciones. Códigos de Hamming. Códigos de Golay. Códigos de Reed-Muller. El Teorema de Shannon. Unidad 2: Cotas para los tamaños de los códigos: La cota de empaquetamiento de esferas. La cota superior de Plotking. Las cotas superiores de Johnson. La cota superior de Griesmer. La cota inferior de Gilbert. La cota inferior de Varshamov. Unidad 3: Repaso de cuerpos finitos: Polinomios y el algoritmo de Euclídes. Elementos primitivos. Construcción de cuerpos finitos. Subcuerpos. Automorfismos de cuerpos. Cosets ciclotómicos y polinomios minimales. Unidad 4: Códigos cíclicos: Teoría básica de códigos cíclicos. Idempotentes y multiplicadores. Ceros e un código cíclico. Distancia mínima de códigos cíclicos. Unidad 5: Códigos de BCH y de Reed-Solomon: Códigos de BCH. Códigos de Reed-Solomon. Códigos de Reed-Solomon generalizados. Decodificación de códigos BCH. Unidad 6: Distribuciones de pesos: Las ecuaciones de MacWilliams. Formulaciones equivalentes. Resultados de unicidad. Unidad 7: Conexión con diseños y grafos: Breve introducción a los diseños combinatorios. Códigos a partir de 2-diseños simétricos. Las matrices de Hadamard, su conexión a los diseños y a los grafos fuertemente regulares. Códigos a partir de las matrices de Hadamard.

VI - Contenidos

Unidad 1: Conceptos básicos de códigos lineales: Códigos lineales, matriz generadora y de chequeo de paridad. Códigos duales. Pesos y distancias. Códigos que se obtienen a partir de otros. Códigos equivalentes por permutaciones. Códigos de Hamming. Códigos de Golay. Códigos de Reed-Muller. El Teorema de Shannon.
Unidad 2: Cotas para los tamaños de los códigos: La cota de empaquetamiento de esferas. La cota superior de Plotking. Las cotas superiores de Johnson. La cota superior de Griesmer. La cota inferior de Gilbert. La cota inferior de Varshamov.
Unidad 3: Repaso de cuerpos finitos: Polinomios y el algoritmo de Euclídes. Elementos primitivos. Construcción de cuerpos finitos. Subcuerpos. Automorfismos de cuerpos. Cosets ciclotómicos y polinomios minimales.
Unidad 4: Códigos cíclicos: Teoría básica de códigos cíclicos. Idempotentes y multiplicadores. Ceros e un código cíclico. Distancia mínima de códigos cíclicos.
Unidad 5: Códigos de BCH y de Reed-Solomon: Códigos de BCH. Códigos de Reed-Solomon. Códigos de Reed-Solomon generalizados. Decodificación de códigos BCH.
Unidad 6: Distribuciones de pesos: Las ecuaciones de MacWilliams. Formulaciones equivalentes. Resultados de unicidad.
Unidad 7: Conexión con diseños y grafos: Breve introducción a los diseños combinatorios. Códigos a partir de 2-diseños simétricos. Las matrices de Hadamard, su conexión a los diseños y a los grafos fuertemente regulares. Códigos a partir de las matrices de Hadamard.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en ejercicios seleccionados por la cátedra que responden a las expectativas del curso.

VIII - Regimen de Aprobación
Para regularizar se requiere la realización satisfactoria de todos los trabajos prácticos. Para aprobar se debe presentar una monografía a modo de examen final.

IX - Bibliografía Básica
[1] Huffman, W. Cary, and Vera Pless. Fundamentals of error-correcting codes. Cambridge university press, 2010.

X - Bibliografia Complementaria
[1] Apuntes del Prof. Dr. Ricardo Podestá: "Introducción a la teoría de códigos autocorrectores", FAMAF, UNC. [2] Apuntes del Prof. Dr. Juan Jacobo Simón Pinero: "Códigos correctores de errores", Universidad de Murcia.

XI - Resumen de Objetivos
El objetivo de este curso es introducir al estudiantado a los códigos correctores de errores. Se buscará familiarizarlos con los conceptos básicos de esta rama de estudios, con construcciones clásicas de códigos y con la relación con otras áreas de la matemática.

XII - Resumen del Programa
Unidad 1: Conceptos básicos de códigos lineales Unidad 2: Cotas para los tamaños de los códigos Unidad 3: Repaso de cuerpos finitos Unidad 4: Códigos cíclicos Unidad 5: Códigos de BCH y de Reed-Solomon Unidad 6: Distribuciones de pesos Unidad 7: Conexión con diseños y grafos

XIII - Imprevistos
Debido a la situación epidemiológica la cursada de la materia será en modalidad virtual utilizando las plataformas classroom, meet y youtube. Se planea que el examen integrador y sus recuperaciones se lleven a cabo en manera presencial. En caso de que no se pueda, se realizarán de manera virtual. Por cualquier eventualidad comunicarse con agpastine@unsl.edu.ar

XIV - Otros