Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
GEOMETRIA DIFERENCIAL	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2021	2° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación

La geometría diferencial utiliza técnicas del cálculo diferencial para el estudio de curvas y superficies. Además, su teoría interrelaciona el cálculo, el álgebra y las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, ofreciendo una oportunidad única de ver estas herramientas en acción.
Tiene aplicaciones interesantes en ingeniería, física, robótica, visión computacional, computación gráfica, etc. Provee no solamente los fundamentos de la relatividad general sino también la base formal para el estudio riguroso de la mecánica analítica.

Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

TEMA 1.- CURVAS
Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco. Teoría local de curvas parametrizadas por la longitud de arco. Propiedades globales de curvas planas.

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
Superficies regulares. Imágenes inversas de valores regulares: superficies de nivel. Cambio de parámetros. Funciones diferenciales entre superficies. Plano tangente, base asociada a una parametrización. La diferencial de una función diferenciable entre superficies y su representación matricial. Vector unitario normal asociado a una parametrización. La primera forma fundamental, elemento de línea. Área. Orientación de superficies. Definición geométrica de área.

TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
La aplicación de Gauss. Diferencial de la aplicación de Gauss y su forma cuadrática asociada: la segunda forma fundamental. Curvatura normal, teorema de Mesnier. Curvaturas principales y direcciones principales. Líneas de curvatura; fórmula de Olinde Rodrigues. Expresión local de la segunda forma fundamental: fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y curvatura media. Puntos umbílicos. Direcciones asíntotas y líneas asintóticas. Indicatriz de Dupin. Hessiano, interpretación geométrica de la indicatriz de Dupin.

TEMA 4.- GEOMETRIA INTRÍNSECA DE LAS SUPERFICIES
Isometrías e isometrías locales, transformaciones conformes. Teorema Egregio de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad de Mainardi – Codazzi; teorema de Bonnet. Derivada covariante. Campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas

Las clases son de carácter teórico-práctico. El profesor titular imparte la totalidad de los
desarrollos teóricos y prácticos. Los alumnos deben intentar resolver los ejercicios planteados por sí mismos, y sus soluciones serán discutidas en clase.

El dictado del curso durante el presente semestre se hará en forma virtual. Exigimos la asistencia (no menos del 80%) y participación activa en las clases, tanto teóricas como prácticas, como parte integral del proceso de evaluación continuo que lleva a la regularidad. Habrán, además, dos pruebas de diagnóstico escritas, tomadas a intervalos aproximadamente iguales. Los alumnos regulares deberán tomar un coloquio/examen final para la promoción de la materia.

[1] [1] doCarmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice – Hall, 1976.

[1] [1] McCleary John, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1997.
[2] [2] Struik Dirk J. Lecture on Classical Differential Geometry, Dover, 1988.
[3] [3] Pressley Andrew, Elementary Differential Geometry, Springer, 2005.
[4] [4] Millman, R. and Parker G. Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.
[5] [5] Klingenberg Wilhelm, A Course in Differential Geometry, Springer, 1978.
[6] [6] Oprea John, Differential Geometry an Its Applications, Prentice Hall, 2004.

Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

TEMA 1.- CURVAS DIFERENCIABLES
TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES