Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
CALCULO II	ING.ELECT.O.S.D	13/08	2020	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
PEPA RISMA, LUCIANA BEATRIZ	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs
BARROZO, MARIA EMILCE	Responsable de Práctico	JTP Exc	40 Hs
MARTINEZ, DIEGO GABRIEL	Auxiliar de Práctico	A.2da Simp	10 Hs
SCHVÖLLNER, VICTOR NICOLAS	Auxiliar de Práctico	A.2da Simp	10 Hs

Este curso de cálculo diferencial e integral en varias variables es tomado por los estudiantes después de los cursos de cálculo
en una variable y álgebra lineal. Ello permite un desarrollo moderno y ágil acorde con su enfoque, esencialmente vectorial.
La vastedad de los temas tratados, no permite ser minucioso en la demostración de todos los resultados, de modo que, para
algunos de ellos, se procura dejar en claro las ideas centrales con vista a sus potenciales aplicaciones.

Que los alumnos:
• Desarrollen ideas geométricas acerca de curvas y superficies, descriptas como gráficas de funciones, de manera implícita y
en forma paramétrica.
• Adquieran técnicas de acotación de funciones de varias variables y sean capaces de utilizarlas en el cálculo de límites.
• Dominen con solvencia el cálculo de derivadas de funciones en espacios euclídeos.
• Resuelvan problemas de optimización.
• Manejen las técnicas de integración de funciones de dos y tres variables y el uso de coordenadas polares, cilíndricas y
esféricas, para llevar los problemas a integrales de una variable resolubles con el ordenador o utilizando tablas de integrales.
• Adquieran técnicas básicas de parametrización de curvas y superficies y sepan calcular integrales de campos y formas.
• Se introduzcan el enfoque diferencial para problemas geómetricos.
• Entiendan los conceptos fundamentales de los operadores vectoriales y su papel en la representación de fenómenos físicos.
• Entiendan los enunciados de los teoremas del análisis vectorial y sus aplicaciones.

Unidad 1: Vectores y geometría del espacio
Sistemas tridimensionales de coordenadas. Vectores. El producto punto. El producto cruz. Rectas y planos: ecuaciones y
representación gráfica. Superficies: ecuaciones y representación gráfica.
Unidad 2: Funciones reales de varias variables
Funciones de dos y de tres variables: definición, dominio y representaciones algebraica (mediante fórmulas explicitas),
numérica (mediante tablas de valores) y visual (mediante diagramas de flechas, gráficas y curvas/superficies de nivel).
Límites: concepto formal e intuitivo, propiedad de unicidad y propiedades del límite de funciones vinculadas mediante
operaciones algebraicas y composiciones. Continuidad: concepto formal e intuitivo, propiedades de operaciones algebraicas y
composiciones entre funciones continuas.
Unidad 3: Diferenciación en dos o más variables
Derivadas parciales: definición, cálculo, interpretaciones geométrica y como razones de cambio. Derivadas de orden superior
y teorema de Clairaut. Incrementos y diferenciales. Planos tangentes y rectas normales a superficies. Aproximaciones
lineales. Regla de la cadena y derivación implícita. Derivadas direccionales y teorema del gradiente. Valores extremos
(máximo y mínimo) de funciones reales de dos y de tres variables. Extremos restringidos. Multiplicadores de Lagrange.
Unidad 4: Integrales múltiples
Integrales dobles y triples: definición mediante sumas de Riemann y propiedades algebraicas; evaluación mediante integrales
iteradas. Teorema de Fubini. Integrales dobles en coordenadas polares. Integrales triples en coordenadas rectangulares,
cilíndricas y esféricas. Cambio de variable en integrales múltiples. Cálculo de áreas y volúmenes entre otras aplicaciones de
las integrales múltiples.
Unidad 5: Cálculo vectorial
Funciones con valores vectoriales y curvas en el espacio. Campos vectoriales. Integrales de línea. Teorema fundamental de
las integrales de línea. Teorema de Green. Rotacional y divergencia. Integrales de superficies. Teorema de Stokes. Teorema
de Gauss.

Los trabajos prácticos consistirán principalmente en la resolución de problemas que requieran la aplicación de los conceptos
desarrollados en la teoría. En ellos, se incluirán, además, algunos "ejercicios teóricos" y demostraciones, especificando sus
destinatarios según la carrera a la que pertenezcan.

I.- Para alumnos regulares:
Se tomarán dos exámenes parciales, cada uno de los cuales podrá ser recuperado dos veces.
El alumno inscripto como regular conservará esa condición aprobando cada uno de estos exámenes parciales (en cualquiera
de sus tres instancias) con un puntaje no menor al 55%. Luego, para aprobar la materia, deberá rendir un examen final en los
turnos habilitados en el calendario académico y/o por la Facultad correspondiente.
La materia se podrá promocionar sin rendir examen final. Para esto, el alumno inscripto como promocional deberá aprobar
cada uno de los exámenes parciales (en cualquiera de sus tres instancias) con un puntaje no menor al 70%. Luego, deberá
rendir (y aprobar) un examen integrador de carácter principalmente teórico. En caso de no aprobar dicho integrador, obtendrá
la condición de regular.
NOTA: Al alumno que rindiera cualquiera de los exámenes parciales en más de una instancia sólo se le considerará la última
nota obtenida.
II.- Para alumnos libres:
El alumno que pierda la condición de regular podrá aprobar la materia rindiendo, en los turnos habilitados por la Facultad
correspondiente para tal fin, un examen (en calidad de “alumno libre”) consistente de una instancia práctica escrita de
carácter eliminatorio. Aprobada ésta el examen continuará con una segunda instancia que incorporará la evaluación de la
teoría.

[1] Earl W. Swokowski, Cálculo con Geometría Analítica, 2ª ed., Grupo Editorial Iberoamérica, 1989.

[1] J. Stewart, Cálculo de Varias Variables, 7ª ed., Cengage Learning, 2012.
[2] J. E. Marsden y A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, 5ª ed., Pearson Prentice Hall, 2004.R.
[3] Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, vols. 1 y 2, Limusa, 1974.
[4] G. Thomas Jr. Y R. Finney, Cálculo con Geometría Analítica, vols. 1 y 2, Addison Wesley Iberoamericana, 1987.

Este curso de cálculo diferencial e integral en varias variables es tomado por los estudiantes de carreras de Ingeniería, Física
y Matemática después de los cursos de cálculo en una variable y álgebra lineal. Ello permite un desarrollo moderno y ágil
acorde con su enfoque, esencialmente vectorial. La vastedad de los temas tratados, no permite ser minucioso en la
demostración de todos los resultados, de modo que, para algunos de ellos, se procura dejar en claro las ideas centrales con
vista a sus potenciales aplicaciones. Al finalizar el curso, se espera que los alumnos:
• Desarrollen ideas geométricas y analíticas acerca de curvas y superficies.
• Adquieran técnicas de acotación de funciones de varias variables.
• Dominen con solvencia el cálculo de límites y de derivadas de funciones reales de dos y tres variables reales.
• Resuelvan cierta clase de problemas de optimización.
• Manejen las técnicas de integración de funciones de dos y tres variables y el uso de coordenadas polares, cilíndricas y
esféricas.
• Adquieran técnicas básicas de parametrización de curvas y superficies y sepan calcular integrales de campos y formas.
• Se introduzcan el enfoque diferencial para problemas geómetricos.
• Entiendan los conceptos fundamentales de los operadores vectoriales y su papel en la representación de fenómenos físicos.
• Entiendan los enunciados de los teoremas del análisis vectorial y sus aplicaciones.

Unidad 1: Vectores y geometría del espacio
Sistemas tridimensionales de coordenadas. Vectores. El producto punto. El producto cruz. Rectas y planos: ecuaciones y
representación gráfica. Superficies: ecuaciones y representación gráfica.
Unidad 2: Funciones reales de varias variables
Funciones de dos y de tres variables: definición, dominio y representaciones algebraica (mediante fórmulas explicitas),
numérica (mediante tablas de valores) y visual (mediante diagramas de flechas, gráficas y curvas/superficies de nivel).
Límites: concepto formal e intuitivo, propiedad de unicidad y propiedades del límite de funciones vinculadas mediante
operaciones algebraicas y composiciones. Continuidad: concepto formal e intuitivo, propiedades de operaciones algebraicas y
composiciones entre funciones continuas.
Unidad 3: Diferenciación en dos o más variables
Derivadas parciales: definición, cálculo, interpretaciones geométrica y como razones de cambio. Derivadas de orden superior
y teorema de Clairaut. Incrementos y diferenciales. Planos tangentes y rectas normales a superficies. Aproximaciones
lineales. Regla de la cadena y derivación implícita. Derivadas direccionales y teorema del gradiente. Valores extremos
(máximo y mínimo) de funciones reales de dos y de tres variables. Extremos restringidos. Multiplicadores de Lagrange.
Unidad 4: Integrales múltiples
Integrales dobles y triples: definición mediante sumas de Riemann y propiedades algebraicas; evaluación mediante integrales
iteradas. Teorema de Fubini. Integrales dobles en coordenadas polares. Integrales triples en coordenadas rectangulares,
cilíndricas y esféricas. Cambio de variable en integrales múltiples. Cálculo de áreas y volúmenes entre otras aplicaciones de
las integrales múltiples.
Unidad 5: Cálculo vectorial
Funciones con valores vectoriales y curvas en el espacio. Campos vectoriales. Integrales de línea. Teorema fundamental de
las integrales de línea. Teorema de Green. Rotacional y divergencia. Integrales de superficies. Teorema de Stokes. Teorema
de Gauss.

El contenido temático y la duración del cuatrimestre declarados en el presente programa se encuentran adaptados al
desarrollo del curso en forma no presencial, dadas las medidas de aislamiento social obligatorio decretadas por el gobierno
nacional y adoptadas por la UNSL en lo relativo a la prevención del covid-19.
Mientras permanezca esta situación, las horas teórico/prácticas correspondientes al dictado de dicho curso, harán referencia a
reuniones virtuales con los estudiantes y atención personalizada de consultas vía mail (aclaraciones sobre la teoría,
indicaciones para resolver ejercicios, correcciones a través de fotos enviadas por los alumnos, etc). Las respuestas a estas
consultas se publicarán en la página web de la materia como material complementario para que todos puedan acceder a ellas,
así como otros ejercicios resueltos y clases teóricas en archivos con formato pdf, elaborados por el equipo docente. Los
parciales se llevarán a cabo mediante la presentación de ejercicios vía mail o Classroom. En caso de que la modalidad virtual
continue al llegar las fechas previstas para las recuperaciones de estos, las mismas se tomarán de manera similar. El coloquio
para promocionar tendrá lugar, de ser posible, durante la etapa presencial que existiría al finalizar la cuarentena, antes del
cierre definitivo del primer cuatrimestre o, de ser imposible, también en forma virtual.