Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
MEDIDA E INTEGRACION	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2020	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
FAVIER, SERGIO JOSE	Prof. Responsable	P.Tit. Exc	40 Hs

El presente curso, precedido por varios cursos de Análisis en los que se fundamentan los conceptos del Cálculo y se sientan las bases
de la teoría de Espacios métricos, introduce al estudiante en la teoría de la integración de Lebesgue. Conforma la herramienta
fundamental de trabajo en diversos campos como Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Teoría de Probabilidades.
Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, pensando que
generalizaciones abstractas serían más propias de niveles de postgrado.

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral,
teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Aplicación de los conceptos de Medida e Integración para el estudio de
espacios de funciones clásicos.

CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. Medida de intervalos. Medida de conjuntos elementales. Conjuntos -
elementales. Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de
medida nula. Estructura de los conjuntos medibles. Conjuntos Borelianos. Invariancia bajo Traslaciones. Conjuntos no
medibles: conjunto de Vitali.
CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES. El concepto de función medible. Operaciones algebraicas. Sucesiones de funciones
medibles. Funciones simples. Parte positiva y negativa. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida.
Función singular de Cantor.
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Paso al límite bajo el signo
integral. Integral de funciones con valores de distinto signo. Convergencia mayorada. La integral y los conjuntos de medida nula. Integral
de funciones con valores complejos. Invariancia bajo traslaciones. La integral como función de conjunto. Comparación con la integral de
Riemann. Integración parcial: el teorema de Fubini. La convolución.

Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá enviar una selección de ejercicios durante el desarrollo de la materia.

[1] [1] -1) N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, Red Olímpica, 1997
[2] [2] -2) E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005

[1] [1] -1) H. L. Royden, Real Analysis, Mac Millan, 1968
[2] [2] -2) W. Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill, 1966
[3] [3] -3) R. Wheeden & A. Zygmund, Measure and Integral, Marcel Dekker, 1977
[4] [4] -4) P. R. Halmos, Measure Theory, Springer Verlag, 1974

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral,
teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini.

CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE.
CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE.

La materia se desarrolla en forma virtual, con los inconvenientes naturales que esto implica. Después de probar otras plataformas se continúa usando Meet para facilitar el acceso a todos los estudiantes. Los inconvenientes de conexión hacen del curso una situación especial que también se refleja en la forma de regularización. Se decide realizar la evaluación correspondiente al finalizar el curso con la presentación individual de un listado de ejercicios.