Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2019)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 12/09/2019 11:27:55)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
GEOMETRIA DIFERENCIAL LIC.EN CS.MAT. 09/17 2019 2° cuatrimestre
GEOMETRIA DIFERENCIAL LIC.EN CS.MAT. 03/14 2019 2° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
MARTINEZ, FEDERICO NICOLAS Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
8 Hs.  Hs.  Hs.  Hs. 8 Hs. 2º Cuatrimestre 05/08/2019 16/11/2019 15 120
IV - Fundamentación
La geometría diferencial utiliza técnicas del cálculo diferencial para el estudio de curvas y superficies. Además, su teoría inter-relaciona el cálculo, el álgebra y las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, ofreciendo una oportunidad única de ver estas herramientas en acción.
Tiene aplicaciones interesantes en ingeniería, física, robótica, visión computacional, computación gráfica, etc.. Provee no solamente los fundamentos de la relatividad general sino también la base formal para el estudio riguroso de la mecánica analítica.
V - Objetivos / Resultados de Aprendizaje
Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.
VI - Contenidos
TEMA 1.- CURVAS
Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco. Teoría local de curvas parametrizadas por la longitud de arco. Propiedades globales de curvas planas.

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
Superficies regulares. Imágenes inversas de valores regulares: superficies de nivel. Cambio de parámetros. Funciones diferenciales entre superficies. Plano tangente, base asociada a una parametrización. La diferencial de una función diferenciable entre superficies y su representación matricial. Vector unitario normal asociado a una parametrización. La primera forma fundamental, elemento de línea. Área. Orientación de superficies. Definición geométrica de área.

TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
La aplicación de Gauss. Diferencial de la aplicación de Gauss y su forma cuadrática asociada: la segunda forma fundamental. Curvatura normal, teorema de Mesnier. Curvaturas principales y direcciones principales. Líneas de curvatura; fórmula de Olinde Rodrigues. Expresión local de la segunda forma fundamental: fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y curvatura media. Puntos umbílicos. Direcciones asíntotas y líneas asintóticas. Indicatriz de Dupin. Hessiano, interpretación geométrica de la indicatriz de Dupin.

TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES
Isometrías e isometrías locales, transformaciones conformes. Teorema Egregio de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad de Mainardi – Codazzi; teorema de Bonnet. Derivada covariante. Campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Resolución de ejercicios seleccionados de la bibliografía básica y exposiciones teóricas.
VIII - Regimen de Aprobación
Durante el curso se tomarán dos (2) exámenes parciales, con derecho a dos recuperaciones cada uno, que deben aprobarse con un puntaje mayor o igual a seis (6) en una escala de 0 a 10, y un coloquio para la promoción de la materia.
IX - Bibliografía Básica
[1] - doCarmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice – Hall, 1976.
X - Bibliografia Complementaria
[1] 1) McCleary John, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1997.
[2] 2) Struik Dirk J. Lecture on Classical Differential Geometry, Dover, 1988.
[3] 3) Pressley Andrew, Elementary Differential Geometry, Springer, 2005.
[4] 4) Millman, R. and Parker G. Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.
[5] 5) Klingenberg Wilhelm, A Course in Differential Geometry, Springer, 1978.
[6] 6) Oprea John, Differential Geometry an Its Applications, Prentice Hall, 2004.
XI - Resumen de Objetivos
Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

XII - Resumen del Programa

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES

XIII - Imprevistos
 
XIV - Otros