Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
(MATERIA OPTATIVA I) INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ALGEBRAICA	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2018	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
MARTINEZ, FEDERICO NICOLAS	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

Podemos mencionar dos razones fundamentales para entender la importancia de la geometría algebraica en la matemática: por un lado, concierne a un problema básico y natural como es la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales; por otro, muchas de las herramientas que se han desarrollado y utilizado para solucionar o comprender más produndamente dicho problema son centrales en el álgebra moderna.
Por lo tanto, su estudio no sólo aporta al matemático una visión concreta acerca de un problema elemental (pero de resolución en general difícil), sino que también lo introduce en el conocimiento y manejo de herramientas de suma utilidad para su trabajo como investigador.

El objetivo de este curso es ofrecer a los estudiantes una visión amplia y detallada de las ideas fundamentales relacionadas con el estudio de la variedades algebraicas, así como también introducirlos en el manejo de las herramientas algebraicas y geométricas necesarias para dicho estudio.

Variedades afines: Espacios afines y conjuntos algebraicos. El ideal de un conjunto de puntos. El teorema de la base de Hilbert. Variedades algebraicas afines. Nullstellensatz. Anillo de coordenadas. Dimensión.
Variedades proyectivas: Espacio proyectivo. Conjuntos algebraicos proyectivos. Variedades afines y proyectivas. Anillos de coordenadas homogéneas.
Morfismos: Aplicaciones polinómicas. Funciones regulares. Anillos locales. Cuerpos de funciones racionales. Morfismos entre variedades. Mapas racionales. Equivalencia birracional. Blow-up.
Propiedades locales de las variedades algebraicas: Puntos singulares. Espacio tangente. Anillos locales de puntos singulares. Variedades suaves. Variedades normales.
Intersecciones en espacio proyectivo: Índice de intersección. Propiedades. El teorema de Bezout. Superficies birracionalemente equivalentes.
El teorema de Riemann-Roch: Divisores. Equivalencia lineal. El Teorema de Riemann. Derivadas y diferenciales. Divisores canónicos. Teorema de Riemann-Roch.

Los trabajos prácticos consistirán en ejercicios seleccionados de las secciones de ejercicios propuestos del libro “Basic Algebraic Geometry”, de I. Shafarevich. Dichos ejercicios responden a las expectativas del curso.

Los alumnos deben realizar entregar los trabajos prácticos y rendir un coloquio teórico/práctico

[1] 1.Shafarevich, I.R., Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
[2] 2.Fulton, W, Curvas Algebraicas, Editorial Reverté.
[3] 3.Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer.
[4] 4.Harris, J., Algebraic Geometry, A First Course, Springer.
[5] 5.Atiyah, M. F., MacDonald, I.G., Introduction to Conmutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.

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El objetivo de este curso es ofrecer a los estudiantes una visión amplia y detallada de las ideas fundamentales relacionadas con el estudio de la variedades algebraicas, así como también introducirlos en el manejo de las herramientas algebraicas y geométricas necesarias para dicho estudio.

Variedades afines: Espacios afines y conjuntos algebraicos. El ideal de un conjunto de puntos. El teorema de la base de Hilbert. Variedades algebraicas afines. Nullstellensatz. Anillo de coordenadas. Dimensión.
Variedades proyectivas: Espacio proyectivo. Conjuntos algebraicos proyectivos. Variedades afines y proyectivas. Anillos de coordenadas homogéneas.
Morfismos: Aplicaciones polinómicas. Funciones regulares. Anillos locales. Cuerpos de funciones racionales. Morfismos entre variedades. Mapas racionales. Equivalencia birracional. Blow-up.
Propiedades locales de las variedades algebraicas: Puntos singulares. Espacio tangente. Anillos locales de puntos singulares. Variedades suaves. Variedades normales.
Intersecciones en espacio proyectivo: Índice de intersección. Propiedades. El teorema de Bezout. Superficies birracionalemente equivalentes.
El teorema de Riemann-Roch: Divisores. Equivalencia lineal. El Teorema de Riemann. Derivadas y diferenciales. Divisores canónicos. Teorema de Riemann-Roch.