Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
MEDIDA E INTEGRACION	LIC.EN CS.MAT.	09/17	2018	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
FAVIER, SERGIO JOSE	Prof. Responsable	P.Tit. Exc	40 Hs

El presente curso, precedido por varios cursos de Análisis en los que se fundamentan los conceptos del Cálculo y se sientan las bases de la teoría de Espacios métricos, introduce al estudiante en la teoría de la integración de Lebesgue. Conforma la herramienta fundamental de trabajo en diversos campos como Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Teoría de Probabilidades.
Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, pensando que generalizaciones abstractas serían más propias de niveles de postgrado.

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Aplicación de los conceptos de Medida e Integración para el estudio de espacios de funciones clásicos.

CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. Medida de intervalos. Medida de conjuntos elementales. Conjuntos -elementales. Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Estructura de los conjuntos medibles. Conjuntos Borelianos. Invariancia bajo Traslaciones. Conjuntos no medibles: conjunto de Vitali.


CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES. El concepto de función medible. Operaciones algebraicas. Sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Parte positiva y negativa. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida. Función singular de Cantor.
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Paso al límite bajo el signo integral. Integral de funciones con valores de distinto signo. Convergencia mayorada. La integral y los conjuntos de medida nula. Integral de funciones con valores complejos. Invariancia bajo traslaciones. La integral como función de conjunto. Comparación con la integral de Riemann. Integración parcial: el teorema de Fubini. La convolución.

CAPITULO IV: ESPACIOS DE FUNCIONES. Espacio de funciones integrables. Completitud. Subespacios densos: funciones simples, escalonadas y continuas de soporte compacto. Separabilidad. Funciones esencialmente acotadas. Completitud. Funcionales lineales acotados. El problema de la dualidad. Funciones de cuadrado integrable. Producto interno. Espacios de Hilbert. Dualidad.

Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones y exposiciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá aprobar dos exámenes parciales.. (ambos recuperables según la legislación vigente).
Los alumnos regulares rendirán un examen oral y los alumnos libres tendrán que rendir previamente un examen escrito sobre los trabajos prácticos.

[1] -1) N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, Red Olímpica, 1997
[2] -2) E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005

[1] -1) H. L. Royden, Real Analysis, Mac Millan, 1968
[2] -2) W. Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill, 1966
[3] -3) R. Wheeden & A. Zygmund, Measure and Integral, Marcel Dekker, 1977
[4] -4) P. R. Halmos, Measure Theory, Springer Verlag, 1974

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Introducción a los espacios de funciones clásicos:

CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE.
CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE.
CAPITULO IV: ESPACIOS DE FUNCIONES