Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2017)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 11/09/2017 12:01:29)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
(MATERIA OPTATIVA I) INTRODUCCION A LA ACCION DE GRUPOS LIC.EN CS.MAT. 03/14 2017 2° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
JAUME, DANIEL ALEJANDRO Prof. Responsable P.Asoc Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
8 Hs.  Hs.  Hs.  Hs. 8 Hs. 2º Cuatrimestre 07/08/2017 17/11/2017 15 120
IV - Fundamentación
La Acción de Grupos es una herramienta avanzada del Álgebra Abstracta, usada para estudiar ciertas estructuras discretas en Matemática y otras ciencias. En particular se estudian estructuras que pueden definirse como clases de equivalencia de conjuntos finitos. Ejemplos prominentes de dichas estructuras son los grafos, códigos lineales, diseños combinatorios e isómeros químicos. El objetivo de este curso es dar una introducción al uso de la Acción de Grupos en la teoría de clasificación, enumeración, construcción y generación de dichas estructuras.
V - Objetivos
El objetivo de este curso es introducir a los estudiantes al uso de Acción de Grupos como herramienta combinatoria. Se buscará familiarizarlos con el tipo de estructuras que se estudian, y dar una primera aproximación al uso de grupos algebraicos para estudiarlas.
VI - Contenidos
Unidad 1, Estructuras Etiquetadas: Especies de estructuras. Suma y producto de especies. Composición particional. Derivación, apuntado y composición functorial. El anillo de clases de isomorfismos de especies.
Unidad 2, Estructuras no Etiquetadas: Acción de grupos. Órbitas, cosets y cosets dobles. Clases de simetría de mapeos. Relaciones invariantes. Simetrías escondidas.
Unidad 3, Enumeración de Estructuras no Etiquetadas: El número de órbitas. Enumeración de clases de simetría. Aplicación a estructuras de incidencia. Clases de simetría especiales.
Unidad 4, Enumeración por Peso: Funciones de peso. Polinomios indicadores de ciclos. Sumas de indicadores de ciclos, Métodos recursivos. Aplicaciones a química. Una generalización. El teorema de descomposición. Acción de grupos. Orbitas, cosets y cosets dobles. Clases de simetría de mapeos. Relaciones invariantes. Simetrías escondidas.
Unidad 5, Enumeración por Clase de Estabilizador: Contando por clase de estabilizador. Órbitas asimétricas, palabras de Lyndon, la identidad ciclotímica. Tablas de marcas y matrices de Burnside. Enumeración pesada por clases de estabilizador.
Unidad 6, Acciones en Conjuntos Parcialmente Ordenados y Semigrupos: Acciones en conjuntos parcialmente ordenados, semigrupos y látices. Ejemplos. Aplicación a diseños combinatorios. El anillo de Burnside.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en ejercicios seleccionados de las secciones de ejercicios propuestos del libro Applied Finite Group Actions, Kerber A., Springer. 1999. Dichos ejercicios responden a las expectativas del curso.
VIII - Regimen de Aprobación
Los alumnos deben realizar entregar los trabajos prácticos y rendir un coloquio teórico/práctico
IX - Bibliografía Básica
[1] - Kerber, A., Applied Finite Group Actions, Springer.
[2] - Gallian, J., Contemporary Abstract Algebra, Brooks/Cole.
[3] - Rotman, J., Advanced Modern Algebra, American Mathematical Society.
X - Bibliografia Complementaria
[1]
XI - Resumen de Objetivos
El objetivo de este curso es introducir a los estudiantes al uso de Acción de Grupos como herramienta combinatoria. Se buscará familiarizarlos con el tipo de estructuras que se estudian, y dar una primera aproximación al uso de grupos algebraicos para estudiarlas.
XII - Resumen del Programa
Unidad 1: Especies de estructuras. Suma y producto de especies. Composición particional. Derivación, apuntado y composición functorial. El anillo de clases de isomorfismos de especies.
Unidad 2: Acción de grupos. Órbitas, cosets y cosets dobles. Clases de simetría de mapeos. Relaciones invariantes. Simetrías escondidas.
Unidad 3: El número de órbitas. Enumeración de clases de simetría. Aplicación a estructuras de incidencia. Clases de simetría especiales.
Unidad 4: Funciones de peso. Polinomios indicadores de ciclos. Sumas de indicadores de ciclos, Métodos recursivos. Aplicaciones a química. Una generalización. El teorema de descomposición. Acción de grupos. Orbitas, cosets y cosets dobles. Clases de simetría de mapeos. Relaciones invariantes. Simetrías escondidas.
Unidad 5: Contando por clase de estabilizador. Órbitas asimétricas, palabras de Lyndon, la identidad ciclotímica. Tablas de marcas y matrices de Burnside. Enumeración pesada por clases de estabilizador.
Unidad 6: Acciones en conjuntos parcialmente ordenados, semigrupos y látices. Ejemplos. Aplicación a diseños combinatorios. El anillo de Burnside.
XIII - Imprevistos