Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2017)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 11/09/2017 11:30:48)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA PROF.MATEM. 21/13 2017 2° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
BARROZO, MARIA FERNANDA Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
7 Hs.  Hs.  Hs.  Hs. 7 Hs. 2º Cuatrimestre 07/08/2017 17/11/2017 15 105
IV - Fundamentación
Aspectos que fundamentan la asignatura:
a) La enseñanza de la Teoría de Números históricamente ha ocupado un lugar central en la Matemática, tanto por la importancia de los temas como por el carácter formativo de los mismos.
b) La teoría elemental de números denominada aritmética, es uno de los temas óptimos para introducir la enseñanza mediante Resolución de Problemas.
c) La modalidad de Laboratorio permite el desarrollo de actividades para la adquisición de conceptos, resolución de problemas, análisis individual y grupal de actividades de enseñanza que posibilita un enriquecimiento progresivo en la forma de plantear la actividad docente a los futuros profesores.

Este laboratorio, ubicado en el Tercer año de estudios de las carreras de Profesorado en Matemática, Profesorado de Tercer ciclo de Enseñanza General Básica y de la Educación Polimodal y Profesorado Superior de Matemáticas, requiere algunos conocimientos previos de los cursos de Álgebra I, Fundamentos de la Matemática y Matemáticas Discretas.
V - Objetivos
- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Establecer relaciones entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen tales como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer alguna de las aplicaciones actuales de la aritmética y el álgebra.
- Conocer algunos aspectos didácticos de importancia, como por ejemplo los obstáculos frecuentes en la enseñanza del álgebra.
VI - Contenidos
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Principio de inducción matemática y formas equivalentes. Principio del buen orden. Algoritmo de la división entera. Sistemas de Numeración. Notación posicional. Desarrollo s-ádico de un número natural. Sistema binario, octal y hexadecimal. Introducción a divisibilidad, números primos y compuestos.

UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD- NÚMEROS PRIMOS y FACTORIZACION
Propiedades básicas de la divisibilidad. Máximo común divisor. Definición. Identidad de Bezout. Algoritmo de Euclides. Propiedades del MCD. Coprimalidad. Los números de Fibonacci. Mínimo común múltiplo. Definición. Propiedades. Relación entre MCD y MCM. Generalización del MCD y MCM para más de dos enteros. Propiedades. Teorema fundamental de la aritmética. Representación (factorización) canónica de un entero. Cálculo del MCD y MCM en base a la factorización canónica. Ternas Pitagóricas. El último Teorema de Fermat. Infinitud de los primos. Criba de Eratóstenes. Distribución de los números primos. Primos mellizos. La conjetura de Goldbach. Postulado de Bertrand.

UNIDAD 3: FUNCIONES ARITMÉTICAS
Función parte entera. Funciones número y suma de divisores. Números perfectos, de Mersenne y de Fermat. La función (indicador)  de Euler. Funciones multiplicativas.

UNIDAD 4.- CONGRUENCIAS
Congruencia módulo un entero positivo. Definición y propiedades básicas. Criterios de divisibilidad usando congruencias. Clases residuales y aritmética modular. Sistema completo y sistema reducido de restos módulo m. Teoremas de Euler y Fermat. Congruencias lineales con una variable. Ecuaciones diofánticas lineales con dos variables. Sistemas de congruencias lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas. Teorema chino del resto. Teorema de Wilson. Orden módulo m. Raíces primitivas.

UNIDAD 5. POLINOMIOS.
Polinomios en una indeterminada con coeficientes en un anillo conmutativo ó en un cuerpo. Anillo de polinomios. Divisibilidad. Algoritmo de la división. Polinomios irreducibles. Máximo común divisor. Identidad de Bezout. Coprimalidad. Factorización de polinomios. Relación entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Se han seleccionado ejercicios y problemas de aplicación para cada unidad, y en cada ejercicio (problema) el alumno debe:
- Describir e interpretar la situación estableciendo relaciones entre los datos del problema.
- Seleccionar y aplicar algún método, propiedad, técnica, etc.
- Obtener las conclusiones que se piden en el problema.
- Comunicar las soluciones oralmente cuando así se le indique.
- Presentar las resoluciones por escrito cuando así se lo indique.
VIII - Regimen de Aprobación
- Para obtener la condición de alumno regular se requiere:

a) La asistencia al 75% de las clases teórico-prácticas.
b) La aprobación de dos parciales escritos esencialmente teórico-prácticos con un puntaje no inferior al 60 % en cada uno. Cada evaluación parcial tendrá dos instancias recuperatorias, y en caso de no aprobar alguno de los parciales tendrá derecho a las instancias de recuperación, siempre y cuando cumpla con el porcentaje de asistencia a clases.
c) Aprobación de exposiciones orales resolviendo problemas asignados previamente.

Los alumnos regulares aprueban la materia con un examen final esencialmente teórico, en los turnos de examen que fije la FCFMyN.

- Para aprobar mediante Promoción sin Examen se requiere cumplir con los requisitos (a) y (c) arriba detallados, y además:

d) Obtener 70% en cada evaluación parcial.
e) Aprobar un coloquio final integrador al finalizar la cursada.

En este curso no se puede rendir en condición de libre debido a las condiciones generales de aprobación del mismo.

IX - Bibliografía Básica
[1] 1. Luis R. Giménez B. –Jorge E. Gordillo A. –Gustavo N. Rubiano: Teoría de números( para princiciantes)- 2º Edición, 2004- Universidad Nacional de Colombia- Facultad de Ciencias (Sede Bogotá)
[2] 2. Becker M.E.- Pietrocola N. - Sánchez C.: Áritmética, - Red Olímpica 2001. Olimpíada Matemática Argentina
[3] 3. Childs, Lindsay. A concrete introduction to higher algebra. Third Edition. Springer
[4] 4. Pettofrezzo, Anthony, Introducción a la teoría de números. Editorial Prentice/Hall Internacional.
X - Bibliografia Complementaria
[1] 1. Fraheileig, Algebra. Fondo educativo iberoamericano.
[2] 2. Brualdi, R. Introductory Combinatorics. 3rd Ed. Prentice Hall.
[3] 3. Richard Johnsonbaugh. Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamericano
[4] 4. Mora, Walter F. Introducción a la Teoría de Números. Ejemplos y algoritmos. www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica
[5] 5. Van Lint, J. and Wilson, R. A course in Combinatorics. 2nd Ed. Cambrigde University Press.
[6] 6. Aigner M, & Ziegler G, Proofs from the book. Springer 1999.
XI - Resumen de Objetivos
- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Establecer relaciones entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen tales como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer alguna de las aplicaciones actuales de la aritmética y el álgebra.
- Conocer algunos aspectos didácticos de importancia, como por ejemplo los obstáculos frecuentes en la enseñanza del álgebra.
XII - Resumen del Programa
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Principio de inducción matemática. Principio del buen orden. Algoritmo de la división entera. Sistemas de Numeración. Introducción a divisibilidad, números primos y compuestos. UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD- NÚMEROS PRIMOS y FACTORIZACION
Máximo común divisor. Definición. Identidad de Bezout. Algoritmo de Euclides. Coprimalidad. Los números de Fibonacci. Mínimo común múltiplo. Teorema fundamental de la aritmética. Representación (factorización) canónica de un entero. Ternas Pitagóricas. El último Teorema de Fermat. Infinitud de los primos. Criba de Eratóstenes. Distribución de los números primos. Primos mellizos. La conjetura de Goldbach. Postulado de Bertrand.
UNIDAD 3: FUNCIONES ARITMÉTICAS
Función parte entera. Funciones número y suma de divisores. Números perfectos, de Mersenne y de Fermat. La función (indicador)  de Euler. Funciones multiplicativas.
UNIDAD 4.- CONGRUENCIAS
Congruencia módulo un entero positivo. Clases residuales y aritmética modular. Teoremas de Euler y Fermat. Congruencias lineales. Ecuaciones diofánticas lineales. Sistemas de congruencias lineales. Teorema chino del resto. Teorema de Wilson. Orden módulo m. Raíces primitivas.
UNIDAD 5. POLINOMIOS.
Polinomios en una indeterminada. Anillo de polinomios. Divisibilidad. Algoritmo de la división. Polinomios irreducibles. Máximo común divisor. Identidad de Bezout. Coprimalidad. Factorización de polinomios. Relación entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.

XIII - Imprevistos