Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2017)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 24/05/2017 10:08:43)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
CALCULO II LIC.EN FISICA 015/06 2017 1° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
AURIOL, NELIDA IRIS Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
GUIÑAZU, NADIA CECILIA Responsable de Práctico A.1ra Semi 20 Hs
MOLINA MUNAFO, LUIS GONZALO Responsable de Práctico JTP Semi 20 Hs
NEME, PABLO ALEJANDRO Responsable de Práctico JTP Exc 40 Hs
MARTINEZ, DIEGO GABRIEL Auxiliar de Práctico A.2da Simp 10 Hs
SCHVöLLNER, VICTOR NICOLAS Auxiliar de Práctico A.2da Simp 10 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
 Hs. 4 Hs. 4 Hs.  Hs. 8 Hs. 1º Cuatrimestre 13/03/2017 23/06/2017 15 112
IV - Fundamentación
El curso de Cálculo Diferencial e Integral en varias variables es tomado por los estudiantes de Física e Ingeniería, después de los cursos de Cálculo en una variable y Algebra Lineal. Ello permite un desarrollo moderno y ágil acorde con su enfoque, esencialmente vectorial. La vastedad de los temas tratados, no permite ser minucioso en la demostración de los resultados, de modo que se trata de dejar en claro las ideas centrales con vista a sus aplicaciones en mecánica de fluidos, electricidad y magnetismo.
V - Objetivos
Desarrollar ideas geométricas acerca de curvas y superficies, descriptas como gráficas de funciones, de manera implícita y en forma paramétrica. Gráficas.
Adquirir técnicas de acotación de funciones de varias variables y utilizarlas en el cálculo de límites.
Dominar ampliamente el cálculo de derivadas de funciones de n en m.
Resolver problemas de optimización.
Manejar las técnicas de integración de funciones de dos y tres variables y el uso de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, para llevar los problemas a integrales de una variable resolubles con el ordenador o utilizando tablas de integrales.
Adquirir técnicas de parametrización de curvas y superficies y calcular integrales de campos y formas.
Entender los conceptos fundamentales de los operadores vectoriales y su papel en la representación de fenómenos físicos.
Entender los enunciados de los teoremas del Análisis Vectorial y sus aplicaciones.
Dominar el lenguaje de formas diferenciales y las condiciones que relacionan las formas cerradas con las exactas.
VI - Contenidos
Unidad 1: Diferenciación
Conceptos métricos elementales en el espacio euclídeo: conjuntos abiertos, cerrados y compactos. Límite y continuidad.
Aproximación lineal en un punto. La diferencial. Derivadas parciales y direccionales. La matriz derivada. Diferenciación de operaciones algebraicas entre funciones y de composiciones.

Unidad 2: Derivadas de orden superior
Derivadas parciales iteradas. Lema de Schwarz-Clairaut. Polinomio de Taylor. Extremos de funciones con valores reales. Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.

Unidad 3. Funciones implícitas e inversas
Sistemas de ecuaciones no lineales. Teoremas de la función implícita y de la función inversa. Cálculo del diferencial para funciones implícitas. Laplaciano en polares. Parametrización de variedades definidas implícitamente. Cálculo de normales y tangentes.

Unidad 4: Funciones con valores vectoriales
Trayectorias y velocidad. Longitud de arco. Campos vectoriales. Divergencia y rotacional de un campo. Cálculo diferencial vectorial. Algunas ecuaciones diferenciales parciales.

Unidad 5: Integrales múltiples
Integral sobre un rectángulo. Principio de Cavalieri. Teorema de Fubini. Integrales sobre regiones más generales (regiones elementales). Cambio en el orden de integración. Integrales triples. Geometría de las funciones de R2 a R2. Teorema del cambio de variables. Aplicaciones de las integrales múltiples.

Unidad 6: Integrales de línea y de superficie.
La integral de trayectoria. Integrales de línea. Regla de Barrow. Independencia del camino. Superficies parametrizadas. Vector normal. Área de una superficie. Integrales de superficie de funciones escalares. Integrales de superficie de funciones vectoriales. Orientación.

Unidad 7: Teoremas integrales del Análisis Vectorial
Teorema de Green. Teorema de Stokes en el plano. Teorema de Gauss. Formas diferenciales exactas y cerradas. Potenciales. Teorema de Stokes para superficies orientadas con borde. Campos conservativos. Formas diferenciales.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.
VIII - Regimen de Aprobación
I.- Para alumnos regulares:
La asistencia a las clases prácticas es obligatoria en un 60%. De las clases teóricas, sólo es obligatorio saber lo que en ellas se dice. El alumno inscripto como regular conserva esa condición aprobando dos evaluaciones parciales. Cada una de ellas podrá ser recuperada dos veces.
II.- Para alumnos libres:
El examen libre consta de una instancia práctica escrita de carácter eliminatorio. Aprobada ésta el examen continúa con una instancia oral que incorpora la evaluación de la teoría.
IX - Bibliografía Básica
[1] • J. E. Marsden y A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, 5ª ed., Pearson Prentice Hall, 2004.
X - Bibliografia Complementaria
[1] • R. Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, vols. 1 y 2, Limusa, 1974.
[2] • G. Thomas Jr. Y R. Finney, Cálculo con Geometría Analítica, vols. 1 y 2, Addison Wesley Iberoamericana, 1987
[3] • G. B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002.
[4] • E. Kreyszig, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, vols. 1 y 2, Limusa, 2008.
[5] • L. Santaló, Vectores y Tensores, EUDEBA, 1961.
[6] • P. Colavita y M. Rizzotto, Electromagnetismo, Nueva Editorial Universitaria, 1999.
XI - Resumen de Objetivos
El curso de Cálculo Diferencial e Integral en varias variables es tomado por los estudiantes de Física, Matemática e Ingeniería, después de los cursos de Cálculo en una variable y Algebra Lineal. Ello permite un desarrollo moderno y ágil acorde con su enfoque, esencialmente vectorial. La vastedad de los temas tratados, no permite ser minucioso en la demostración de los resultados, de modo que se trata de dejar en claro las ideas centrales con vista a sus aplicaciones en mecánica de fluidos, electricidad y magnetismo.
Se espera que el estudiante
Desarrolle ideas geométricas acerca de curvas y superficies, descriptas como gráficas de funciones, de manera implícita y en forma paramétrica. Utilice el ordenador para representarlas.
Adquiera técnicas de acotación de funciones de varias variables y las utilice en el cálculo de límites.
Domine ampliamente el cálculo de derivadas de funciones entre espacios euclídeos.
Resuelva problemas de optimización.
Maneje las técnicas de integración de funciones de dos y tres variables y el uso de coordenadas polares y esféricas, para llevar los problemas a integrales de una variable resolubles con el ordenador o las tablas.
Adquiera técnicas de parametrización de curvas y superficies y calcule integrales de campos y formas.
Entienda los conceptos fundamentales de los operadores vectoriales y su papel en la representación de fenómenos físicos.
Entienda los enunciados de los teoremas del Análisis Vectorial y sus aplicaciones.
Maneje el lenguaje de formas diferenciales.
XII - Resumen del Programa
Unidad 1: Diferenciación
Concepto intuitivo de variedad. Ecuaciones implícitas. Gráficos de funciones. Descripción paramétrica. Técnicas para visualizar variedades. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Conceptos métricos elementales en el espacio euclídeo: conjuntos abiertos, cerrados y compactos. Límite y continuidad. Teorema del máximo y el mínimo. Diferenciación. Gradientes y derivadas direccionales. Hiperplano tangente al gráfico de de una función real. Propiedades de la derivada. Teorema del valor medio. Variedades de nivel; hiperplano tangente.

Unidad 2: Derivadas de orden superior
Derivadas parciales iteradas. Lema de Schwarz-Clairaut. Polinomio de Taylor. Extremos de funciones con valores reales. Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.

Unidad 3. Funciones implícitas e inversas
Sistemas de ecuaciones no lineales. Teoremas de la función implícita y de la función inversa. Cálculo del diferencial para funciones implícitas. Laplaciano en polares. Parametrización de variedades definidas implícitamente. Cálculo de normales y tangentes.

Unidad 4: Funciones con valores vectoriales
Trayectorias y velocidad. Longitud de arco. Campos vectoriales. Divergencia y rotacional de un campo. Cálculo diferencial vectorial. Algunas ecuaciones diferenciales parciales.

Unidad 5: Integrales múltiples
Integral sobre un rectángulo. Principio de Cavalieri. Teorema de Fubini. Integrales sobre regiones más generales (regiones elementales). Cambio en el orden de integración. Integrales triples. Geometría de las funciones de R2 a R2. Teorema del cambio de variables. Aplicaciones de las integrales múltiples.

Unidad 6: Integrales sobre variedades.
La integral de trayectoria. Integrales de línea. Regla de Barrow. Independencia del camino. Superficies parametrizadas. Vector normal. Área de una superficie. Integrales de superficie de funciones escalares. Integrales de superficie de funciones vectoriales. Orientación.

Unidad 7: Teoremas integrales del Análisis Vectorial
Teorema de Green. Teorema de Stokes en el plano. Campos conservativos. Teorema de Gauss. Formas diferenciales. Formas diferenciales exactas y cerradas. Potenciales. Teorema de Stokes para superficies orientadas con borde.
XIII - Imprevistos