Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2017)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 26/04/2017 11:29:12)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS DE FOURIER LIC.EN CS.MAT. 03/14 2017 1° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
BENAVENTE FAGER, ANA MARIA Prof. Responsable P.Asoc Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
 Hs. 4 Hs. 4 Hs.  Hs. 8 Hs. 1º Cuatrimestre 13/03/2017 23/06/2017 15 120
IV - Fundamentación

La teoría de variable compleja es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (como Series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.).
En dicha teoría, el punto de partida es la simple idea de extender una función que inicialmente es a valores reales en su argumento, a otra función cuyo argumento es complejo. Desde ahí, se derivan las principales propiedades de funciones holomorfas, los teoremas de Cauchy, residuos, continuación analítica y el principio de los argumentos.

V - Objetivos
Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La medida del logro es la capacidad de resolver ejercicios y problemas.

VI - Contenidos
PROGRAMA ANALÍTICO Y DE EXAMEN
Tema 1.- Funciones en el plano complejo
Números complejos y plano complejo. Propiedades, convergencia y conjuntos en el plano complejo. Funciones de variable compleja. Funciones continuas, funciones holomorfas, series de potencia. Integración a lo largo de curvas.

Tema 2.- Teorema de Cauchy y sus aplicaciones.
Teorema de Goursat. Existencia local de primitivas y teorema de Cauchy en el disco. Cálculo de algunas integrales. Fórmula integral de Cauchy. Aplicaciones: teorema de Liouville, teorema fundamental del Álgebra, teorema de Morera.

Tema 3.- Funciones meromorfas y el logaritmo
Ceros y Polos. La formula de los residuos. Singularidades y funciones meromorfas. El principio del argumentoy aplicaciones. Homotopías y dominios simplemente conexos. El logaritmo complejo.

Segunda parte: Series de Fourier


Tema 4.- Propiedades básicas de series de Fourier
Definiciones y ejemplos. Unicidad de Series de Fourier. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesaro y Abel.

Tema 5.- Convergencia
Convergencia en media cuadrada, espacios vectoriales y productos internos. Convergencia puntual.

Tema 6.- La transformada de Fourier.
Definición. La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz. Fórmula de inversion. Fórmula de Plancherel. Extensión a funciones de decaimiento moderado.

VII - Plan de Trabajos Prácticos

El plan de trabajo consiste en prácticos con ejercicios de aplicación de las técnicas usuales y problemas de mayor dificultad que pongan de manifiesto la habilidad del estudiante para resolverlos, aplicando los resultados básicos de la teoría. Además cada alumno deberá preparar un tema a elección, para su exposición oral.

VIII - Regimen de Aprobación
Para obtener la REGULARIDAD de la asignatura, el alumno deberá aprobar dos parciales. Además deberá demostrar habilidad para estudiar y exponer oralmente algún tema seleccionado de la materia.
La APROBACIÓN sólo se logrará mediante la modalidad de EXÁMEN FINAL, en los turnos usuales. No hay “Promoción sin examen”.
Se puede aprobar como Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte práctica. Si lo aprueba rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular.
IX - Bibliografía Básica
[1] 1. Stein E., Shakarchi R., COMPLEX ANALYSIS, Princeton Lectures in Analysis II. Princeton University Press, 2003.
[2] 2. Stein E., Shakarchi R., FOURIER ANALYSIS, AN INTRODUCTION, Princeton Lectures in AnalysisI. Princeton University Press, 2003.
X - Bibliografia Complementaria
[1] 3. Cartan H., Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas, Ed. 4) Selecciones Científicas, 1968.
[2] 4. Rudin W., Análisis real y complejo. Tercera edición, McGraw Hill, 1988.functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967.
[3] 5. Markushevich A., Theory of functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967.
XI - Resumen de Objetivos
Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La medida del logro es la capacidad de resolver ejercicios y problemas
XII - Resumen del Programa
PROGRAMA SINTETICO.

Tema 1.- Funciones en el plano complejo

Tema 2.- Teorema de Cauchy y sus aplicaciones.

Tema 3.- Funciones meromorfas y el logaritmo

Segunda parte: Series de Fourier

Tema 4.- Propiedades básicas de series de Fourier

Tema 5.- Convergencia

Tema 6.- La transformada de Fourier.



XIII - Imprevistos