Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2016)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 12/09/2016 12:17:24)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
MEDIDA E INTEGRACION LIC.EN CS.MAT. 03/14 2016 2° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
ALVAREZ, HUGO CESAR Prof. Responsable P.Tit. Exc 40 Hs
ZO, FELIPE JOAQUIN Prof. Colaborador P.Tit. Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
10 Hs.  Hs.  Hs.  Hs. 10 Hs. 2º Cuatrimestre 08/08/2016 18/11/2016 15 150
IV - Fundamentación
El presente curso, precedido por varios cursos de Análisis en los que se fundamentan los conceptos del Cálculo y se sientan las bases de la teoría de Espacios métricos, introduce al estudiante en la teoría de la integración de Lebesgue. Conforma la herramienta fundamental de trabajo en diversos campos como Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Teoría de Probabilidades.
Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, pensando que generalizaciones abstractas serían más propias de niveles de postgrado.
V - Objetivos
Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Aplicación de los conceptos de Medida e Integración para el estudio de espacios de funciones clásicos.
VI - Contenidos
CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE. Medida de intervalos. Medida de conjuntos elementales. Conjuntos -elementales. Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Estructura de los conjuntos medibles. Conjuntos Borelianos. Invariancia bajo Traslaciones. Conjuntos no medibles: conjunto de Vitali.


CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES. El concepto de función medible. Operaciones algebraicas. Sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Parte positiva y negativa. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida. Función singular de Cantor.
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Paso al límite bajo el signo integral. Integral de funciones con valores de distinto signo. Convergencia mayorada. La integral y los conjuntos de medida nula. Integral de funciones con valores complejos. Invariancia bajo traslaciones. La integral como función de conjunto. Comparación con la integral de Riemann. Integración parcial: el teorema de Fubini. La convolución.

CAPITULO IV: ESPACIOS DE FUNCIONES. Espacio de funciones integrables. Completitud. Subespacios densos: funciones simples, escalonadas y continuas de soporte compacto. Separabilidad. Funciones esencialmente acotadas. Completitud. Funcionales lineales acotados. El problema de la dualidad. Funciones de cuadrado integrable. Producto interno. Espacios de Hilbert. Dualidad.


VII - Plan de Trabajos Prácticos
Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones y exposiciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.
VIII - Regimen de Aprobación
Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá aprobar dos exámenes parciales.. (ambos recuperables según la legislación vigente).
Los alumnos regulares rendirán un examen oral y los alumnos libres tendrán que rendir previamente un examen escrito sobre los trabajos prácticos.
IX - Bibliografía Básica
[1] -1) N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, Red Olímpica, 1997
[2] -2) E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005
X - Bibliografia Complementaria
[1] -1) H. L. Royden, Real Analysis, Mac Millan, 1968
[2] -2) W. Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill, 1966
[3] -3) R. Wheeden & A. Zygmund, Measure and Integral, Marcel Dekker, 1977
[4] -4) P. R. Halmos, Measure Theory, Springer Verlag, 1974
XI - Resumen de Objetivos
Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Introducción a los espacios de funciones clásicos:

XII - Resumen del Programa
CAPITULO I: MEDIDA DE LEBESGUE.
CAPITULO II: FUNCIONES MEDIBLES
CAPITULO III: INTEGRAL DE LEBESGUE.
CAPITULO IV: ESPACIOS DE FUNCIONES
XIII - Imprevistos