Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2016)
(Programa en trámite de aprobación)
(Programa presentado el 12/09/2016 12:11:56)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
GEOMETRIA DIFERENCIAL LIC.EN CS.MAT. 03/14 2016 2° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
GIUNTA, ANA MARIA Prof. Responsable P.Asoc Exc 40 Hs
GALDEANO, PATRICIA LUCIA Prof. Colaborador P.Asoc Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
8 Hs.  Hs.  Hs.  Hs. 8 Hs. 2º Cuatrimestre 08/08/2016 18/11/2016 15 120
IV - Fundamentación
La geometría diferencial utiliza técnicas del cálculo diferencial para el estudio de curvas y superficies. Además, su teoría inter-relaciona el cálculo, el álgebra y las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, ofreciendo una oportunidad única de ver estas herramientas en acción.
Tiene aplicaciones interesantes en ingeniería, física, robótica, visión computacional, computación gráfica, etc. . Provee no solamente los fundamentos de la relatividad general sino también la base formal para el estudio riguroso de la mecánica analítica.
V - Objetivos
Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.
VI - Contenidos
TEMA 1.- CURVAS
Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco. Teoría local de curvas parametrizadas por la longitud de arco. Propiedades globales de curvas planas.

TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
Superficies regulares. Imágenes inversas de valores regulares: superficies de nivel. Cambio de parámetros. Funciones diferenciales entre superficies. Plano tangente, base asociada a una parametrización. La diferencial de una función diferenciable entre superficies y su representación matricial. Vector unitario normal asociado a una parametrización. La primera forma fundamental, elemento de línea. Área. Orientación de superficies. Definición geométrica de área.

TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
La aplicación de Gauss. Diferencial de la aplicación de Gauss y su forma cuadrática asociada: la segunda forma fundamental. Curvatura normal, teorema de Mesnier. Curvaturas principales y direcciones principales. Líneas de curvatura; fórmula de Olinde Rodrigues. Expresión local de la segunda forma fundamental: fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y curvatura media. Puntos umbílicos. Direcciones asíntotas y líneas asintóticas. Indicatriz de Dupin. Hessiano, interpretación geométrica de la indicatriz de Dupin.

TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES
Isometrías e isometrías locales, transformaciones conformes. Teorema Egregio de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad de Mainardi – Codazzi; teorema de Bonnet. Derivada covariante. Campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Resolución de ejercicios seleccionados de la bibliografía básica y exposiciones teóricas.
VIII - Regimen de Aprobación
- RÉGIMEN DE APROBACIÓN DE TRABAJOS PRÁCTICOS

Durante el curso se tomarán dos (2) exámenes parciales, con derecho a dos recuperaciiones cada uno, que deben aprobarse con un puntaje mayor o igual a seis (6) en una escala de 0 a 10. Para aprobar la materia se deberá rendir un examen final.
IX - Bibliografía Básica
[1] - doCarmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice – Hall, 1976.
X - Bibliografia Complementaria
[1] 1) McCleary John, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1997.
[2] 2) Struik Dirk J. Lecture on Classical Differential Geometry, Dover, 1988.
[3] 3) Pressley Andrew, Elementary Differential Geometry, Springer, 2005.
[4] 4) Millman, R. and Parker G. Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.
[5] 5) Klingenberg Wilhelm, A Course in Differential Geometry, Springer, 1978.
[6] 6) Oprea John, Differential Geometry an Its Applications, Prentice Hall, 2004.
XI - Resumen de Objetivos


Manejar, comprender y relacionar los diversos conceptos involucrados en la teoría en cuestión y sus aplicaciones.

XII - Resumen del Programa
TEMA 1.- CURVAS
TEMA 2.- SUPERFICIES REGULARES
TEMA 3.- LA GEOMETRÍA DE LA APLICACIÓN DE GAUSS
TEMA 4.- GEOMETRIA INTRINSECA DE LAS SUPERFICIES

XIII - Imprevistos