Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas
(Programa del año 2016)
I - Oferta Académica
Materia Carrera Plan Año Periodo
(MATERIA OPTATIVA I) GEOMETRIA ALGEBRAICA LIC.EN CS.MAT. 03/14 2016 1° cuatrimestre
II - Equipo Docente
Docente Función Cargo Dedicación
DE BORBON, GONZALO MARTIN Prof. Responsable P.Adj Exc 40 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal Tipificación Duración
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc. Total C - Teoria con prácticas de aula Desde Hasta Cantidad de Semanas Cantidad en Horas
Periodo
 Hs. 6 Hs. 2 Hs.  Hs. 8 Hs. 1º Cuatrimestre 13/03/2016 24/06/2016 15 120
IV - Fundamentación
Los contenidos del curso constituyen una introducción al área de la Geometría Algebraica. Por un lado la Geometría Algebraica es una rama clásica de la matemática pura, interactuando con Algebra, Análisis y Topología. Por el otro es una disciplina que también tiene aplicaciones a la industria, como en la robótica por ejemplo. La Geometría Algebraica se ha desarrollado también de una manera computacional en los últimos tiempos, mediante el uso de computadoras.
V - Objetivos
Introducir las nociones básicas de Ideales y Variedades Afines y entender como se relacionan. Desarrollar algoritmos para dividir polinomios de varias variables y calcular bases de Groebner. Demostrar el Teorema de la base de Hilbert el Teorema de los ceros de Hilbert. Introducir nociones de geometría proyectiva.
VI - Contenidos
UNIDAD I: IDEALES Y VARIEDADES AFINES.
Polinomios en una variable. Algoritmo de división de Euclides. Polinomios en varias variables. Variedades afines. Ejemplos. Ideales.

UNIDAD II: BASES DE GROEBNER.
Ordenes monomiales. Algoritmo de división para polinomios en varias variables. Lema de Dickson. Teorema de la base de Hilbert. Bases de Groebner.

UNIDAD III: TEORIA DE ELIMINACION
Teorema de eliminación. Teorema de extensión. Interpretación geométrica. Resultante. Factorización única. Puntos singulares. Envelopes.

UNIDAD IV: CORREPONSDENCIA ENTRE IDEALES Y VARIEDADES AFINES
Teorema de los ceros de Hilbert. Ideales radicales. Topología de Zariski. Variedades Irreducibles. Ideales primos. Descomposición de una variedad en componentes irreducibles.

UNIDAD V: GEOMETRIA PROYECTIVA
Espacio Proyectivo. Polinomios homogéneos. Variedades proyectivas. Ideales homogéneos. Clausura proyectiva de una variedad afín. Teorema de Bezut.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
Ejercitación de las clases teóricas y del libro.
VIII - Regimen de Aprobación
Entrega de ejercicios. Exposición final.
IX - Bibliografía Básica
[1] Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. David A Cox, John Little, Donal O'Shea. Undergraduate Texts in Mathematics
X - Bibliografia Complementaria
[1] Undergraduate Algebraic Geometry. Miles Reid. London Mathematical Society Student Texts.
XI - Resumen de Objetivos
Introducir las nociones básicas de Ideales y Variedades Afines y entender como se relacionan. Desarrollar algoritmos para dividir polinomios de varias variables y calcular bases de Groebner. Demostrar el Teorema de la base de Hilbert el Teorema de los ceros de Hilbert. Introducir nociones de geometría proyectiva.
XII - Resumen del Programa
Variedades afines. Ideales. Algoritmo de división para polinomios en varias variables. Bases de Groebner. Teorema de la base de Hilbert. Resultante. Teoría de eliminación. Teorema de los ceros de Hilbert. Variedades proyectivas.
XIII - Imprevistos