Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Área: Matematicas

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(Programa del año 2013)

(Programa en trámite de aprobación)

(Programa presentado el 27/08/2013 09:01:40)

I - Oferta Académica

Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS DE FOURIER	LIC.EN CS.MAT.	18/06	2013	1° cuatrimestre

II - Equipo Docente

Docente	Función	Cargo	Dedicación
BENAVENTE FAGER, ANA MARIA	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs

III - Características del Curso

Credito Horario Semanal					Tipificación	Duración
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	C - Teoria con prácticas de aula	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Teórico/Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.	Total	Periodo	Desde	Hasta	Cantidad de Semanas	Cantidad en Horas
Hs.	6 Hs.	2 Hs.	Hs.	8 Hs.	1º Cuatrimestre	14/03/2013	19/06/2013	15	120

IV - Fundamentación
La teoría de variable compleja es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (como Series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.). En dicha teoría, el punto de partida es la simple idea de extender una función que inicialmente es a valores reales en su argumento, a otra función cuyo argumento es complejo. Desde ahí, se derivan las principales propiedades de funciones holomorfas, los teoremas de Cauchy, residuos, continuación analítica y el principio de los argumentos.

IV - Fundamentación

La teoría de variable compleja es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (como Series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.).
En dicha teoría, el punto de partida es la simple idea de extender una función que inicialmente es a valores reales en su argumento, a otra función cuyo argumento es complejo. Desde ahí, se derivan las principales propiedades de funciones holomorfas, los teoremas de Cauchy, residuos, continuación analítica y el principio de los argumentos.

V - Objetivos / Resultados de Aprendizaje
Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La medida del logro es la capacidad de resolver ejercicios y problemas.

VI - Contenidos
PROGRAMA ANALÍTICO Y DE EXAMEN Tema 1.- Funciones Analíticas Funciones de variable compleja. Continuidad. Derivadas. Fórmulas de derivación. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Coordenadas Polares. Funciones analíticas y funciones armónicas. Tema 2.- Integrales Integrales de contorno. Primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Dominios simplemente conexos y múltiplemente conexos. Fórmula integral de Cauchy. Derivada de funciones analíticas. Teorema de Morera. Módulos máximos. Teorema de Liouville y teorema fundamental del álgebra. Tema 3.- Series Convergencia. Series de Taylor. Series de Laurent. Series de potencia y convergencia absoluta y uniforme. Integración y derivación de series de potencia. Unicidad. Tema 4.- Residuos y polos. El teorema de los residuos. Parte principal de una función. Residuos en los polos. Ceros y polos de orden m. Segunda parte: Series de Fourier Tema 5.- Propiedades básicas de series de Fourier Definiciones y ejemplos. Unicidad de Series de Fourier. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesaro y Abel. Tema 6.- Convergencia Convergencia en media cuadrada, espacios vectoriales y productos internos. Convergencia puntual. Tema 7.- La transformada de Fourier. Definición. La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz. Fórmula de inversión. Fórmula de Plancherel. Fórmula de Poisson. Núcleos de Poison. El principio de incertidumbre de Heisenberg.

VI - Contenidos

PROGRAMA ANALÍTICO Y DE EXAMEN
Tema 1.- Funciones Analíticas
Funciones de variable compleja. Continuidad. Derivadas. Fórmulas de derivación. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Coordenadas Polares. Funciones analíticas y funciones armónicas.

Tema 2.- Integrales
Integrales de contorno. Primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Dominios simplemente conexos y múltiplemente conexos. Fórmula integral de Cauchy. Derivada de funciones analíticas. Teorema de Morera. Módulos máximos. Teorema de Liouville y teorema fundamental del álgebra.

Tema 3.- Series
Convergencia. Series de Taylor. Series de Laurent. Series de potencia y convergencia absoluta y uniforme. Integración y derivación de series de potencia. Unicidad.

Tema 4.- Residuos y polos.
El teorema de los residuos. Parte principal de una función. Residuos en los polos. Ceros y polos de orden m.

Segunda parte: Series de Fourier

Tema 5.- Propiedades básicas de series de Fourier
Definiciones y ejemplos. Unicidad de Series de Fourier. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesaro y Abel.

Tema 6.- Convergencia
Convergencia en media cuadrada, espacios vectoriales y productos internos. Convergencia puntual.

Tema 7.- La transformada de Fourier.
Definición. La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz. Fórmula de inversión. Fórmula de Plancherel. Fórmula de Poisson. Núcleos de Poison. El principio de incertidumbre de Heisenberg.

VII - Plan de Trabajos Prácticos
El plan de trabajo consiste en 8 prácticos con ejercicios de aplicación de las técnicas usuales y problemas de mayor dificultad que pongan de manifiesto la habilidad del estudiante para resolverlos, aplicando los resultados básicos de la teoría. Además cada alumno deberá preparar un tema a elección, para su exposición oral.

VIII - Regimen de Aprobación
Para obtener la REGULARIDAD de la asignatura, el alumno deberá presentar por escrito el desarrollo de todos los ejercicios de cada práctico como así también su defensa. Además deberá demostrar habilidad para estudiar y exponer oralmente algún tema seleccionado de la materia. La APROBACIÓN sólo se logrará mediante la modalidad de EXÁMEN FINAL, en los turnos usuales. No hay “Promoción sin examen”. Se puede aprobar como Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte práctica. Si lo aprueba rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular.

VIII - Regimen de Aprobación

Para obtener la REGULARIDAD de la asignatura, el alumno deberá presentar por escrito el desarrollo de todos los ejercicios de cada práctico como así también su defensa. Además deberá demostrar habilidad para estudiar y exponer oralmente algún tema seleccionado de la materia.
La APROBACIÓN sólo se logrará mediante la modalidad de EXÁMEN FINAL, en los turnos usuales. No hay “Promoción sin examen”.
Se puede aprobar como Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte práctica. Si lo aprueba rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular.

IX - Bibliografía Básica
[1] 1. Churchill R. V., Brown J. W., VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES, Mc Graw Hill, 1988. [2] 2. Stein E., Shakarchi R., FOURIER ANALYSIS, AN INTRODUCTION, Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press, 2003.

X - Bibliografia Complementaria
[1] 3. Cartan H., Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas, Ed. 4) Selecciones Científicas, 1968. [2] 4. Rudin W., Análisis real y complejo. Tercera edición, McGraw Hill, 1988.functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967. [3] 5. Markushevich A., Theory of functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967.

XI - Resumen de Objetivos
OBJETIVOS DEL CURSO Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La medida del logro es la capacidad de resolver ejercicios y problemas

XII - Resumen del Programa
Tema 1.- Funciones Analíticas Tema 2.- Integrales Tema 3.- Series Tema 4.- Residuos y polos. Tema 5.- Propiedades básicas de series de Fourier Tema 6.- Convergencia Tema 7.- La transformada de Fourier.

XIII - Imprevistos

XIV - Otros