Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
MEDIDA E INTEGRACION	LIC.EN CS.MAT.	18/06	2012	2° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
ZO, FELIPE JOAQUIN	Prof. Responsable	P.Tit. Exc	40 Hs

El presente curso introduce al estudiante en la moderna teoría de la integración, debida a Lebesgue.
Se adopta para el desarrollo de estos temas una presentación intuitiva, en el ámbito del espacio euclídeo, y se incluye nociones de generalizaciones a espacios de medidas abstractos

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Diferenciación de la integral y de las funciones. Nociones de medida abstracta.

CAPITULO I: Teoría de Medida. Introducción. Medida exterior. Conjuntos medibles y medida de Lebesgue. Funciones medibles: definición y propiedades básicas, aproximación por funciones simples y funciones escaleras, los tres principios de Littlewood.


CAPITULO II: Teoría de Integración. Integral de Lebesgue, propiedades básicas y teoremas de convergencia el espacio $L^1$ de las funciones integrables. Teorema de Fubini: enunciado y demostración del teorema, aplicaciones del teorema de Fubini. La fórmula de inversión para la transformada de Fourier.


CAPITULO III: Diferenciación e Integración. Diferenciación de la integral: la función maximal de Hardy-Littlewood, el teorema de diferenciación de Lebesgue, Núcleos buenos y aproximaciones de la identidad. Diferenciación de funciones: funciones de variación acotada, funciones absolutamente continuas, diferenciación de las funciones de salto, curvas rectificables.
CAPITULO IV: Medida Abstracta y Teoría de Integración. Espacios de medidas abstractas: medida exterior y teorema de Carathéodory. Medida exterior métrica. El teorema de extensión. Integración en un espacio de medida. Medidas producto y un teorema de Fubini general. Fórmula de integración para coordenadas polares. Medida de Borel sobre la recta e integral de Lebesgue-Stieltjes

Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones y exposiciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá asistir al 75% de las clases teórico-prácticas y aprobar dos exámenes parciales (ambos recuperables una vez).
Los alumnos regulares rendirán un examen oral sobre los contenidos del progra,a y los alumnos libres tendrán que rendir previamente un examen escrito sobre los trabajos prácticos.

[1] 1. Stein, Elias M. and Shakarchi, Rami. Princeton Lectures in Analysis III. REAL ANALYSIS. . Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press. Princeton and Oxford. 2005
[2] 2. N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, Red Olímpica, 1997

[1] 1. H. L. Royden, Real Analysis, Mac Millan, 1968
[2] 2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill, 1966
[3] 3- R. Wheeden & A. Zygmund, Measure and Integral, Marcel Dekker, 1977

Construcción de los conceptos de la teoría de Lebesgue: medida exterior y conjuntos medibles, medida, funciones medibles, integral, teoremas de paso al límite, teoremas de paso al límite, teoremas de Tonelli y Fubini. Diferenciación de la integral y de las funciones. Nociones de medidas abstractas.

CAPITULO I: Teoría de Medida.
CAPITULO II: Teoría de Integración.
CAPITULO III: Diferenciación e Integración.
CAPITULO IV: Medida Abstracta y Teoría de Integración.