Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA	P.T.C.E.G.B.E.P.M.	14/05	2011	2° cuatrimestre
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA	PROF.MATEM.	010/09	2011	2° cuatrimestre
LABORATORIO DE ARITMETICA Y ALGEBRA	PROF.UNIV.EN MATEMATICAS	13/05	2011	2° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
AURIOL, NELIDA IRIS	Prof. Responsable	P.Adj Exc	40 Hs
MINI, MARIA AMELIA	Responsable de Práctico	A.1ra Exc	40 Hs

Aspectos que fundamentan la asignatura:
a) La enseñanza de la Teoría de Números históricamente ha ocupado un lugar central en la Matemática, tanto por la importancia de los temas como el carácter formativo de los mismos.
b) La teoría elemental de números denominada aritmética, es uno de los temas óptimos para introducir la enseñanza por Resolución de Problemas.
c) La modalidad de Laboratorio permite el desarrollo de actividades para la adquisición de conceptos, resolución de problemas, análisis individual y grupal de actividades de enseñanza que posibilita un enriquecimiento progresivo en la forma de plantear la actividad docente a los futuros profesores.

Este laboratorio, ubicado en el Tercer año de estudios de las carreras de Profesorado de Tercer ciclo de Enseñanza General Básica y de la Educación Polimodal y Profesorado Superior de Matemáticas, requiere algunos conocimientos previos de los cursos de Álgebra I, Fundamentos de la Matemática y Matemáticas Discreta

- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Establecer relaciones entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer alguna de las aplicaciones actuales de la aritmética y álgebra.
- Conocer algunos aspectos didácticos de importancia: obstáculos frecuentes en la enseñanza del álgebra.

UNIDAD 1: DIVISIBILIDAD
Repaso de inducción. Buen orden. Divisibilidad de números enteros. Propiedades básicas. Algoritmo de división entera. Cálculo de restos. Sistemas de Numeración. Notación posicional. Desarrollo s-ádico de un número natural. Sistema binario, octal y hexadecimal. Criterios de divisibilidad.
UNIDAD 2: MAXIMO COMUN DIVISOR
Máximo común divisor. Definición. Propiedades. Cálculo. Coprimalidad. Generalización del máximo común divisor.
Algoritmo de Euclides. Ecuaciones diofánticas lineales.
UNIDAD 3: NÚMEROS PRIMOS y FACTORIZACION
Números Primos. Teorema Fundamental de la Aritmética. Caracterización de los divisores de un número. Número de divisores. Factorización. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo.
Ternas Pitágoricas. El último Teorema de Fermat. Infinitud de los primos. Criba de Erastóstenes. Distribución de los números primos. Primos mellizos. La conjetura de Golbach.
Dos grandes teoremas sobre números primos: Teorema de Dirichet y Teorema de Hadamard-ValléePousin.
UNIDAD 4.- CONGRUENCIAS
Propiedades elementales. Clases residuales y aritmética modular. Teorema de Wilson. Sistema reducido de restos. Ecuaciones lineales de congruencia.
UNIDAD 5.- TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA ARITMETICA MODULAR.
Teorema chino del resto. El pequeño Teorema de Fermat. Orden módulo p. Primos de Mersenne y Números Perfectos. Caracterización de los números perfectos pares. Teorema de Fermat-Euler. El indicador  de Euler
UNIDAD 6.- POLINOMIOS.
Polinomios en una indeterminada. Relación entre el anillo de los enteros y el anillo de polinomios.
Divisibilidad. Algoritmo de la división. Polinomios irreducibles. Máximo común divisor. Coprimalidad. Factorización de polinomios.

Se han seleccionado ejercicios y problemas de aplicación para cada unidad, y en cada ejercicio (problema) el alumno debe:
- Describir e interpretar la situación estableciendo relaciones entre los datos del problema
- Seleccionar y aplicar algún método, propiedad, técnica, etc.
- Obtener las conclusiones que se piden en el problema.
- Comunicar las soluciones oralmente.

La condición de alumno regular se obtendrá mediante la aprobación de las siguientes instancias:
- Dos parciales escritos, esencialmente prácticos, con un puntaje del 60%. Cada evaluación parcial tendrá una instancia recuperatoria, y también habrá una recuperación general.
- Exposiciones orales resolviendo problemas asignados previamente.
Los alumnos regulares aprueban la materia con un examen final esencialmente teórico, en lo turnos de examen que fije la FCFMyN.

Para los alumnos libres, el examen final consta de tres instancias:
1- Resolución por escrito, de problemas similares a los de la guía de trabajos prácticos, y su aprobación es condición necesaria para acceder a la segunda instancia.
2- Una exposición de un tema previamente fijado, y nuevamente la aprobación de esta parte es condición necesaria para acceder a la tercera y última parte.
3- Examen oral, esencialmente teórico, que abarca la totalidad del programa.

[1] 1. Becker M.E.- Pietrocola N. - Sánchez C.: Aritmética, - Red Olímpica 2001. Olimpíada Matemática Argentina
[2] 2. Childs, Lindsay. A concrete introduction to higher algebra. Springer
[3] 3. Brualdi, R. Introductory Combinatorics. 3rd Ed. Prentice Hall.
[4] 4. Pettofrezzo, Anthony, Introducción a la teoría de números. Editorial Prentice/Hall Internacional.
[5] 5. Richard Johsonbaugh. Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamericano.
[6] 6. Van Lint, J. and Wilson, R. A course in Combinatorics. 2nd Ed. Cambrigde University Press.
[7] 7. Aigner M, & Ziegler G, Proofs from the book. Springer 1999.

[1] 1. Fraheileig, Algebra. Fondo educativo iberoamericano.

- Incorporar a través de resolución de problemas conocimientos básicos de la aritmética.
- Adquirir estrategias de resolución de problemas algebraicos y aritméticos.
- Mejorar el razonamiento matemático poniendo en evidencia procesos que subyacen como: particularizar, generalizar, conjeturar, convencer, es decir hacer práctica con reflexión.
- Conocer algunas aplicaciones actuales de la aritmética y álgebra.
Revelar algunos aspectos didácticos de la aritmética y del álgebra..

Unidad N1: Lo básico
Repaso de inducción. Buen orden. Teorema de la división. Bases y Operaciones.

Unidad N2: Algoritmo de Euclides y factorización única
Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout. Teorema fundamental de la aritmética. Notación exponencial. Primos

Unidad N3: Congruencias
Congruencia módulo m, propiedades. Trucos de divisibilidad. Congruencias lineales. Clases de congruencia (mod m). Z/mZ. Aritmética módulo m. Conjuntos completos de representantes. Unidades.

Unidad N4: Teoremas de Fermat y Euler
Anillos. Cuerpos. Homomorfismos. Conjuntos ordenados. Teorema de Fermat. Teorema de Euler. Potencias módulo m. Grupos. Exponente de un grupo Abeliano.

Unidad N5: Teorema de Lagrange y el Teorema Chino del resto
Subgrupos, Teorema de Lagrange. Teorema Chino del resto. Producto de anillos. Función  de Euler.

Unidad N6: Polinomios
Polinomios. Teorema de la división. Raíces primitivas. Máximo común divisor. Polinomios irreducibles. Congruencias. Teorema Chino del resto. Raíces primitivas módulo m. Propiedades.