Materia	Carrera	Plan	Año	Periodo
VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS DE FOURIER	LIC.EN CS.MATEMÁTICAS	18/06	2010	1° cuatrimestre

Docente	Función	Cargo	Dedicación
ALVAREZ, HUGO CESAR	Prof. Responsable	P.Tit. Exc	40 Hs

En este curso se desarrollan de manera más formal dos teorías del Análisis cuya necesidad ya se presentó en el curso de Ecuaciones de la Física - Matemática que lo precede.

Se espera que el alumno pueda comprender los problemas que dan origen a la teoría y las técnicas que permiten el desarrollo de la misma. La capacidad de resolver ejercicios y problemas (abundantes en la bibliografía) es la medida del logro.

1ª parte. Variables complejas.
1.- Derivación: Derivada de una función compleja. Su relación con la diferencial de una transformación del plano. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas. Ejemplos de funciones holomorfas. Primitivas.
2.- Integración: Curvas y caminos. Integración de funciones continuas a lo largo de caminos. Reducción a integrales reales y a formas diferenciales. Reparametrizaciones. Suma de caminos. Paso al límite bajo el signo integral. Regla de Barrow. Condición suficiente para existencia de primitiva en un convexo.
3.- Funciones representables por series de potencias en un abierto (RSP): Holomorfía de las funciones RSP. Unicidad del desarrollo. Teorema de Cauchy para triángulos. Teorema y fórmula de Cauchy en conjuntos convexos. Consecuencia: las funciones holomorfas son RSP (luego ). Teorema de Morera. Teorema de los ceros. Principio de identidad. Singularidades aisladas. Clasificación. Teorema de Cassoratti-Weierstrass. Identidad de Parseval, teoremas de Liouville y del módulo máximo. Acotaciones de Cauchy.
4.- El teorema de la aplicación abierta: Comportamiento de una función holomorfa en la vecindad de un punto de derivada no nula. Representación en un punto de cero múltiple. Invertibilidad global.
5.- El teorema de Cauchy Global: Cadenas y ciclos. El teorema de Cauchy. Algunas propiedades del índice.
6.- Funciones meromorfas: Teorema del residuo. Teorema de Rouché. Aplicaciones.
7.- Continuación Analítica: Puntos regulares y singulares. Continuación a lo largo de curvas. El teorema de monodromía.
2ª parte. Análisis de Fourier.
8.- Problemas físicos: La cuerda vibrante. Ondas estacionarias y viajeras. Derivación de la ecuación de las ondas. La ecuación del calor. Fenómeno estacionario en el disco.
9.- Propiedades básicas de series de Fourier: Formulación del problema. Unicidad. Convoluciones. Núcleos buenos. Sumabilidad Cesàro: Teorema de Fejér. Sumabilidad Abel: Núcleo de Poisson y problema de Dirichlet en el disco.
10.- Convergencia de series de Fourier: Convergencia en media cuadrática. Convergencia puntual. Teorema de localización.
11.- Transformada de Fourier en la recta: Definición. El espacio S de Schwartz. La transformada de Fourier en S. Fórmula de inversión. Teorema de Plancherel. Extensión a funciones de decrecimiento moderado. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales.

Los trabajos prácticos consistirán en resoluciones y exposiciones de ejercicios sobre los temas desarrollados en teoría.

Para obtener la condición de alumno regular en la materia, el alumno deberá asistir al 75% de las clases teórico-prácticas y aprobar dos exámenes parciales.. (ambos recuperables una vez).
Los alumnos regulares rendirán un examen oral en los temas estipulados y los alumnos libres tendrán que rendir previamente un examen escrito sobre los trabajos prácticos.

[1] W. Rudin, Real and Complex Análisis, 3rd. ed., McGraw-Hill, 1987.
[2] E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction, Princeton University Press, 2002.

[1] E. M. Stein and R. Shakarchi, Comlex Analysis, Princeton University Press, 2003.
[2] M. Balanzat, Matemática Avanzada para la Física, Eudeba,
[3] R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, 1963.
[4] L. V. Ahlfors, Análisis de una variable Compleja, Aguilar, 1966.
[5] H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plousiers variables complexes, Hermann, 1969.

En este curso se desarrollan de manera más formal dos teorías del Análisis cuya necesidad ya se presentó en el curso de Ecuaciones de la Física - Matemática que lo precede.

1ª parte. Variables complejas.
1.- Derivación
2.- Integración
3.- Funciones representables por series de potencias en un abierto (RSP)
4.- El teorema de la aplicación abierta: Comportamiento de una función holomorfa en la vecindad de un punto de derivada no nula. Representación en un punto de cero múltiple. Invertibilidad global.
5.- El teorema de Cauchy Globa
6.- Funciones meromorfas
7.- Continuación Analítica.
2ª parte. Análisis de Fourier.
8.- Problemas físicos
9.- Propiedades básicas de series de Fourier
10.- Convergencia de series de Fourier.
11.- Transformada de Fourier en la recta.